Đề bài: $1$. Khảo sát hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x – 5}}{{x – 2}}\left( C \right)\)$2$. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm $M$ bất kỳ trên đồ thị $(C)$ đến các tiệm cận là một hằng số không phụ thuộc vị trí điểm $M$$3$. Tìm trên mỗi nhánh của $(C)$ một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất
Lời giải
$1$. Bạn đọc tự giải.
$2$. Đồ thị có tiệm cận đứng \(x – 2=0\) và tiệm cận xiên \( x-y + 3=0\)
Giả sử \(M\left( {{x_0},\,\frac{{x_0^2 + x – 5}}{{{x_0} – 2}}} \right) \in \left( C \right)\)
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là \({h_1} = |{x_0} – 2|\)
Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là \({h_2} = \left| {{x_0} – \frac{{x_0^2 + {x_0} – 5}}{{{x_0} – 2}} + 3} \right|.\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 |{x_0} – 2|}}\)
Ta được \({h_1}.\,{h_2} = |{x_0} – 2|.\frac{1}{{\sqrt 2 |{x_0} – 2|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \) hằng số.
$3$. Giả sử $A, B$ trên hai nhánh của $(C)$ sao cho \({x_A} = 2 – a;\,\,{x_B} = 2 + b\,\,\left( {a,\,b > 0} \right)\). Khi đó:
\(\begin{array}{l}
{y_A} = \frac{{{{\left( {2 – a} \right)}^2} + \left( {2 – a} \right) – 5}}{{ – a}} = – a – \frac{1}{a} + 5\\
{y_B} = \frac{{{{\left( {2 + b} \right)}^2} + \left( {2 + b} \right) – 5}}{b} = b + \frac{1}{b} + 5\\
{y_B} – {y_A} = a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\\
{x_B} – {x_A} = a + b
\end{array}\)
Do đó \(A{B^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a + b} \right)^2}{\left( {1 + \frac{1}{{ab}}} \right)^2}\)
Vì \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab\) nên ta có
\(A{B^2} \ge 4ab\left[ {1 + {{\left( {1 + \frac{1}{{ab}}} \right)}^2}} \right] = 4ab\left( {\frac{1}{{{a^2}{b^2}}} + \frac{2}{{ab}} + 2} \right) \Leftrightarrow A{B^2} \ge \frac{4}{{ab}} + 8ab + 8\)
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho cặp số \(\left( {\frac{4}{{ab}},\,8ab} \right)\) ta được:\(\frac{4}{{ab}} + 8ab \ge 2\sqrt {\frac{4}{{ab}}.8ab} = 8\sqrt 2 \)
Do đó \(A{B^2} \ge 8\left( {\sqrt 2 + 1} \right) \Rightarrow AB \ge 2\sqrt {2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)} \)
Vậy \(A{B_{\min }} = 2\sqrt {2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)} \) xảy ra khi \(a = b = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}\)
Kết luận: Hai điểm cần tìm là hai điểm trên đồ thị với hoành độ \(x = 2 \pm \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}\)
Trả lời