[Dạng câu 50 Toán L2 – 2020] Cho phương trình \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{3{x^2} – 3mx + 4}} – {\left( {\sqrt 3 } \right)^{2{x^2} – mx + 3m}} = – {x^2} + 2mx + 3m – 4{\mkern 1mu} (1)\). S là tập hợp tất cả các giá trị \(m\)nguyên thuộc khoảng \(\left( {0;2020} \right)\) sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Số phần tử của \(S\) là

Cho phương trình \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{3{x^2} – 3mx + 4}} – {\left( {\sqrt 3 } \right)^{2{x^2} – mx + 3m}} = – {x^2} + 2mx + 3m – 4{\mkern 1mu} (1)\). S là tập hợp tất cả các giá trị \(m\)nguyên thuộc khoảng \(\left( {0;2020} \right)\) sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Số phần tử của \(S\) là

A. $2018.$
B. $2019.$
C. $2020.$
D. $2021.$

Lời giải
Đặt \(u = 3{x^2} – 3mx + 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} v = 2{x^2} – mx + 3m\) suy ra\(v – u = – {x^2} + 2mx + 3m – 4\).
Phương trình đã cho trở thành: \({\left( {\sqrt 3 } \right)^u} – {\left( {\sqrt 3 } \right)^v} = v – u{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 } \right)^u} + u = {\left( {\sqrt 3 } \right)^v} + v{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} .{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (2)\)
Xét hàm số \(f(t) = {\left( {\sqrt 3 } \right)^t} + t\) trên \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(f'(t) = {\left( {\sqrt 3 } \right)^t}\ln \sqrt 3 + 1 > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall t \in \mathbb{R}\) suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó phương trình được viết dưới dạng \(f(u) = f(v) \Leftrightarrow u = v\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} – 3mx + 4 = 2{x^2} – mx + 3m \Leftrightarrow {x^2} – 2mx – 3m + 4 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (3)\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)\(\left( 3 \right)\)có 2 nghiệm phân biệt\( \Leftrightarrow \Delta ‘ > 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 3m – 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 4\\m > 1\end{array} \right.{\mkern 1mu} .\)Vì \(m \in \left( {0;2020} \right)\)nên \(m \in \left\{ {2,3,4,…,2019} \right\}\).
Vậy số phần tử của \(S\)là $2018.$