Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E$ là trọng tâm tam giác $DAB.$ Tìm giá trị của $k$ thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:

Bài toán gốc

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E$ là trọng tâm tam giác $DAB.$ Tìm giá trị của $k$ thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=(k-7)\overrightarrow{CE}$
A. $8$ B. $10$ C. $7$ D. $11$
💡 Lời giải: ta có $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=3\overrightarrow{CE}$. Nên $k-7=3\Leftrightarrow k=10$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán yêu cầu tìm hệ số $k$ trong đẳng thức vectơ, dựa trên tính chất của trọng tâm tam giác. Phương pháp giải là áp dụng công thức vectơ của trọng tâm: Nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $A_1A_2A_3$, thì với bất kỳ điểm $M$ nào, ta luôn có $\overrightarrow{MA_1} + \overrightarrow{MA_2} + \overrightarrow{MA_3} = 3\overrightarrow{MG}$. Sau khi áp dụng công thức, ta đồng nhất hệ số của $\overrightarrow{MG}$ (hoặc $\overrightarrow{CE}$ trong bài gốc) để tìm $k$. Trong bài toán gốc, $E$ là trọng tâm $\triangle DAB$, do đó $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 3\overrightarrow{CE}$.

Bài toán tương tự

5 bài toán tương tự:

**1.** Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Tìm giá trị của $k$ thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = (k+12)\overrightarrow{DG}$.
A. $15$ B. $9$ C. $12$ D. $10$
Đáp án đúng: B
Lời giải ngắn gọn: $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ nên $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{DG}$. Đồng nhất hệ số: $k+12 = 3 \Leftrightarrow k = 3 – 12 = -9$. Đáp án là B.

**2.** Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $M(1; 2; 3)$, $N(4; -1; 0)$, $P(2; 1; 5)$. Gọi $F$ là trọng tâm tam giác $MNP$. Tìm giá trị $k$ sao cho $\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON} + \overrightarrow{OP} = (3k)\overrightarrow{OF}$.
A. $1$ B. $3$ C. $0$ D. $1/3$
Đáp án đúng: A
Lời giải ngắn gọn: Áp dụng công thức trọng tâm: $\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON} + \overrightarrow{OP} = 3\overrightarrow{OF}$. Đồng nhất hệ số: $3k = 3 \Leftrightarrow k = 1$. Đáp án là A.

**3.** Cho tứ diện $SABC$. Gọi $K$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Tìm giá trị của $m$ thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $5(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}) = (m-4)\overrightarrow{SK}$.
A. $19$ B. $15$ C. $4$ D. $16$
Đáp án đúng: A
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = 3\overrightarrow{SK}$. Thay vào đẳng thức: $5(3\overrightarrow{SK}) = (m-4)\overrightarrow{SK} \Leftrightarrow 15\overrightarrow{SK} = (m-4)\overrightarrow{SK}$. Đồng nhất hệ số: $15 = m-4 \Leftrightarrow m = 19$. Đáp án là A.

**4.** Cho tam giác $PQR$ và điểm $T$. Gọi $H$ là trọng tâm tam giác $PQR$. Nếu đẳng thức vectơ $\overrightarrow{TP} + \overrightarrow{TQ} + \overrightarrow{TR} = (2k + 1)\overrightarrow{TH}$ đúng, hãy tính giá trị của $k$.
A. $1$ B. $2$ C. $0$ D. $3/2$
Đáp án đúng: A
Lời giải ngắn gọn: Do $H$ là trọng tâm $\triangle PQR$ nên $\overrightarrow{TP} + \overrightarrow{TQ} + \overrightarrow{TR} = 3\overrightarrow{TH}$. Đồng nhất hệ số: $2k + 1 = 3 \Leftrightarrow 2k = 2 \Leftrightarrow k = 1$. Đáp án là A.

**5.** Cho tứ diện $MNPQ$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $NPQ$. Tìm $k$ biết rằng $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ} = (k^2 – 13)\overrightarrow{MG}$. (Giả sử $k>0$)
A. $3$ B. $4$ C. $5$ D. $2$
Đáp án đúng: B
Lời giải ngắn gọn: Do $G$ là trọng tâm $\triangle NPQ$ nên $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ} = 3\overrightarrow{MG}$. Đồng nhất hệ số: $k^2 – 13 = 3 \Leftrightarrow k^2 = 16$. Vì $k>0$, ta chọn $k=4$. Đáp án là B.