Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho parabol \(f\left( x \right) = {x^2} + 2m\) (với \(m\) là số thực dương) và đường thẳng \(g\left( x \right) = 2x\). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) lần lượt là diện tích hai phần gạch chéo như hình vẽ. Để \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2\) thì số thực dương \(m\) nằm trong khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( {\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right)\).
B. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right)\).
C. \(\left( {\frac{3}{4};1} \right)\).
D. \(\left( {1;\frac{5}{4}} \right)\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng là: \({x^2} + 2m = 2x \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} = 1 – 2m\,\,\,\left( * \right)\)
Để có các phần gạch chéo như hình vẽ thì parabol và đường thẳng phải cắt nhau tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) \(\left( * \right)\) phải có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow 1 – 2m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}\).
Khi đó \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt là \({x_1} = 1 – \sqrt {1 – 2m} ,\,\,{x_2} = 1 + \sqrt {1 – 2m} \).
Vì \(0 < m < \frac{1}{2}\) nên \(0 < {x_1} < {x_2}\).
Suy ra \({S_1} = \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {{x^2} – 2x + 2m} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – {x^2} + 2mx} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \frac{{x_1^3}}{3} – x_1^2 + 2m{x_1}\)
\( = \frac{{{{\left( {1 – \sqrt {1 – 2m} } \right)}^3}}}{3} – {\left( {1 – \sqrt {1 – 2m} } \right)^2} + 2m\left( {1 – \sqrt {1 – 2m} } \right)\).
\({S_2} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {2x – {x^2} – 2m} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^2} – \frac{{{x^3}}}{3} – 2mx} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}} = \left( {x_2^2 – x_1^2} \right) – \frac{1}{3}\left( {x_2^3 – x_1^3} \right) – 2m\left( {{x_2} – {x_1}} \right)\)
\( = \left( {{x_2} – {x_1}} \right)\left( {\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – \frac{1}{3}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – {x_1}{x_2}} \right] – 2m} \right)\)
\( = 2\sqrt {1 – 2m} \left( {2 – \frac{1}{3}\left[ {{2^2} – 2m} \right] – 2m} \right) = \frac{{4\left( {1 – 2m} \right)\sqrt {1 – 2m} }}{3}\)
Vì \({S_1} = 2{S_2}\) nên \(\frac{{{{\left( {1 – \sqrt {1 – 2m} } \right)}^3}}}{3} – {\left( {1 – \sqrt {1 – 2m} } \right)^2} + 2m\left( {1 – \sqrt {1 – 2m} } \right) = \frac{{8\left( {1 – 2m} \right)\sqrt {1 – 2m} }}{3}\) \(\left( {**} \right)\)
Dùng CASIO dò nghiệm \(m > 0\) ta được \(m \approx 0,41\).
Trả lời