Cho hình tứ diện $MNPQ$ có trọng tâm $F$, $E$ là một điểm bất kỳ. Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

Bài toán gốc

Cho hình tứ diện $MNPQ$ có trọng tâm $F$, $E$ là một điểm bất kỳ. Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau? (a). $\overrightarrow{MF}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ} \right)$. (b). $\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}$. (c). $\overrightarrow{FM}+\overrightarrow{FN}+\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FQ}=\overrightarrow{0}$. (d). $\overrightarrow{MF}=\dfrac{2}{3}\left( \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ} \right)$.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
💡 Lời giải: (Đúng)(a). $\overrightarrow{MF}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ} \right)$. (Vì): $\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EP}+\overrightarrow{EQ} \right)$. Ta thay điểm $E$ bởi điểm $M$ thì ta có: $\overrightarrow{MF}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{MM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MF}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ} \right)$ Do vậy $\overrightarrow{MF}=\dfrac{2}{3}\left( \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ} \right)$. (Đúng)(b). $\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}$. (Vì): Viết lại: $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{0}$. (Đúng)(c). $\overrightarrow{FM}+\overrightarrow{FN}+\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FQ}=\overrightarrow{0}$. (Vì): Xem công thức (Sai)(d). $\overrightarrow{MF}=\dfrac{2}{3}\left( \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ} \right)$. (Vì): $\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EP}+\overrightarrow{EQ} \right)$. Ta thay điểm $E$ bởi điểm $M$ thì ta có: $\overrightarrow{MF}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{MM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MF}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ} \right)$ Do vậy $\overrightarrow{MF}=\dfrac{2}{3}\left( \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ} \right)$ là sai.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán kiểm tra kiến thức cơ bản về phép toán vector và tính chất của trọng tâm (centroid) trong hình học không gian, cụ thể là trọng tâm của hình tứ diện. Phương pháp giải dựa trên việc áp dụng công thức trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$: $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}$ và công thức vector tổng quát: $\overrightarrow{E G}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{E C}+\overrightarrow{E D})$ với $E$ là điểm bất kỳ. Đồng thời, sử dụng quy tắc cộng vector (quy tắc chu trình kín) để kiểm tra các đẳng thức vector khác.

Bài toán tương tự

{
“cau_1”: “Câu 1. Cho hình tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. $O$ là một điểm bất kỳ trong không gian. Khẳng định nào sau đây là SAI?
A. $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}$.
B. $\overrightarrow{A G}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D} \right)$.
C. $\overrightarrow{O G}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D} \right)$.
D. $\overrightarrow{G A}=\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D} \right)$.”,
“dap_an_1”: “Đáp án đúng: D.
Giải thích: Khẳng định A và C là công thức định nghĩa của trọng tâm tứ diện. Khẳng định B đúng (áp dụng công thức C với $O=A$). Khẳng định D sai vì theo tính chất trọng tâm, $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}$, suy ra $\overrightarrow{G A}=-(\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D})$.”,
“cau_2”: “Câu 2. Cho tứ diện $SABC$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$. Mệnh đề nào sau đây là ĐÚNG?
A. $\overrightarrow{S A}+\overrightarrow{S B}+\overrightarrow{S C}=3\overrightarrow{S I}$.
B. $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C S}+\overrightarrow{S A}=\overrightarrow{0}$.
C. $\overrightarrow{S A}+\overrightarrow{S I}=\overrightarrow{S B}+\overrightarrow{S C}$.
D. $\overrightarrow{A I}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$.”,
“dap_an_2”: “Đáp án đúng: B.
Giải thích: Mệnh đề B là quy tắc cộng vector cho một chu trình kín $ABCS$, tổng các vector tạo thành $\overrightarrow{A A} = \overrightarrow{0}$. Mệnh đề A sai (nếu $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$, ta có $\overrightarrow{S A}+\overrightarrow{S B}+\overrightarrow{S C}=3\overrightarrow{S G}$). Mệnh đề C sai. Mệnh đề D sai, nếu $I$ là trung điểm $BC$ thì $\overrightarrow{A I}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$.”,
“cau_3”: “Câu 3. Cho tứ diện $OABC$ có trọng tâm $G$. Đặt $\vec{a}=\overrightarrow{O A}, \vec{b}=\overrightarrow{O B}, \vec{c}=\overrightarrow{O C}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow{O G}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$.
B. $\overrightarrow{O G}=\dfrac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$.
C. $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{O G}$.
D. $\overrightarrow{A G}=\dfrac{1}{4}(\vec{b}+\vec{c}-\vec{a})$.”,
“dap_an_3”: “Đáp án đúng: B.
Giải thích: Áp dụng công thức trọng tâm tứ diện $G$ đối với điểm $O$: $\overrightarrow{O G}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O O}) = \dfrac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$.”,
“cau_4”: “Câu 4. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Gọi $K$ là tâm của mặt $CDD’C’$. Mệnh đề nào sau đây là SAI?
A. $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A’}=\overrightarrow{A C’}$.
B. $\overrightarrow{A K}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D’})$.
C. $\overrightarrow{A K}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D}+2\overrightarrow{A C’})$.
D. $\overrightarrow{A K}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C K}$.”,
“dap_an_4”: “Đáp án đúng: C.
Giải thích: A và D là các quy tắc cộng vector cơ bản (A là quy tắc hình hộp, D là quy tắc cộng). K là trung điểm của $C D’$ và $C’ D$. Ta có $\overrightarrow{A K} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A C} + \overrightarrow{A D’})$ (Đúng). Khẳng định C sai, không phản ánh đúng vị trí của $K$.”,
“cau_5”: “Câu 5. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $C D$. Có bao nhiêu khẳng định ĐÚNG trong các khẳng định sau?
(i). $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D}=2\overrightarrow{A N}$.
(ii). $\overrightarrow{M N}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D})$.
(iii). $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}$.
(iv). $\overrightarrow{M N}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D})$.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4″,
“dap_an_5”: “Đáp án đúng: B.
Giải thích:
(i). N là trung điểm $CD$. $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D}=2\overrightarrow{A N}$. (Đúng).
(ii). Công thức vector đoạn nối trung điểm: $\overrightarrow{M N}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D})$. Khẳng định này sai vì là dấu trừ.
(iii). Viết lại đẳng thức: $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C D}$. Tương đương $\overrightarrow{D B}=\overrightarrow{D B}$. (Đúng).
(iv). $\overrightarrow{M N}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D})$ sai (hệ số phải là $\frac{1}{2}$).
Có 2 khẳng định đúng là (i) và (iii).”
}