Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn \(\left( {O\,;\,3} \right)\) và \(\left( {O’\,;\,3} \right)\). Biết rằng tồn tại dây cung \(AB\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho \(\Delta O’AB\) là tam giác đều và mặt phẳng \(\left( {O’AB} \right)\) hợp với mặt phẳng chứa đường tròn \(\left( O \right)\) một góc \(60^\circ \). Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón có đỉnh \(O’\), đáy là hình tròn\(\left( {O\,;\,3} \right)\).

Câu hỏi: Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn \(\left( {O\,;\,3} \right)\) và \(\left( {O’\,;\,3} \right)\). Biết rằng tồn tại dây cung \(AB\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho \(\Delta O’AB\) là tam giác đều và mặt phẳng \(\left( {O’AB} \right)\) hợp với mặt phẳng chứa đường tròn \(\left( O \right)\) một góc \(60^\circ \). Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón có đỉnh \(O’\), đáy là hình tròn\(\left( {O\,;\,3} \right)\).

A. \({S_{xq}} = \frac{{54\pi \sqrt 7 }}{7}\).

B. \({S_{xq}} = \frac{{81\pi \sqrt 7 }}{7}\).

C. \({S_{xq}} = \frac{{27\pi \sqrt 7 }}{7}\).

D. \({S_{xq}} = \frac{{36\pi \sqrt 7 }}{7}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow OH \bot AB\,\,\left( 1 \right)\).

Lại có: \(OO’ \bot \left( {OAB} \right) \Rightarrow OO’ \bot AB\,\,\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(AB \bot \left( {O’OH} \right) \Rightarrow AB \bot O’H \Rightarrow \widehat {O’HO} = 60^\circ \)

Đặt \(OH = x\). Khi đó: \(0 < x < 3\) và \(OO’ = x\tan {60^0} = x\sqrt 3 \).

Xét \(\Delta OAH\),ta có: \(A{H^2} = 9 – {x^2}\).

Vì \(\Delta O’AB\) đều nên: \(O’A = AB = 2AH = 2\sqrt {9 – {x^2}} {\rm{ }}\left( 3 \right)\).

Mặt khác \(\Delta AOO’\) vuông tại \(O\) nên \(A{O’^2} = O{O’^2} + {3^2} = 3{x^2} + 9{\rm{ }}\left( 4 \right)\).

Từ\(\left( 3 \right)\,,\,\left( 4 \right)\)ta có: \(4\left( {9 – {x^2}} \right) = 3{x^2} + 9 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{27}}{7} \Leftrightarrow x = \frac{{3\sqrt {21} }}{7}\)\( \Rightarrow h = OO’ = x\sqrt 3 = \frac{{9\sqrt 7 }}{7}\).

Độ dài đường sinh hình nón là \(l = O’A = \frac{{12\sqrt 7 }}{7}\).

Vậy: \({S_{xq}} = \pi Rl = \frac{{36\pi \sqrt 7 }}{7}\).

=======