Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng \(y = 8x,\,y = x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) có diện tích là \(S = \frac{a}{b}\), với \(a,\,b \in \mathbb{N}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(I = a – b\).
A. \(I = 66\).
B. \(I = 60\).
C. \(I = 59\).
D. \(I = 67\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đồ thị của ba hàm số đã cho được minh họa như hình vẽ bên.
Trong góc phần tư thứ nhất, xét các phương trình hoành độ giao điểm:
+ \({x^3} = x \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 1\).
+ \({x^3} = 8x \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\sqrt 2 \)
Hình phẳng cần tính diện tích là phần gạch sọc, được chia ra làm hai vùng. Theo hình vẽ ta có
\(S = \int\limits_0^1 {\left( {8x – x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\left( {8x – {x^3}} \right){\rm{d}}x} \)\( = \frac{{63}}{4}\).
Suy ra \(a = 63\), \(b = 4\). Vậy \(I = a – b = 59\).
Trả lời