Cho hàm số\(f(x) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x) + 24}}\) và \(y = 1\) bằng

Cho hàm số\(f(x) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\).

Biết hàm số\(g(x) = f(x) + {f^\prime }(x) + {f^{\prime \prime }}(x) + {f^{\prime \prime \prime }}(x)\) có ba giá trị cực trị là \( – 14;4;6\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x) + 24}}\) và \(y = 1\) bằng

     A. \(2\ln 3\)                      

B. \(\ln 10\)    

C. \(\ln 3\)                         

D. \(\ln 5\)

Lòi giải

Xét hàm số: \(g(x) = f(x) + {f^\prime }(x) + {f^{\prime \prime }}(x) + {f^{\prime \prime \prime }}(x)\).

Ta có \({g^\prime }(x) = {f^\prime }(x) + {f^{\prime \prime }}(x) + {f^{\prime \prime \prime }}(x) + {f^{\prime \prime \prime }}(x) = {f^\prime }(x) + {f^{\prime \prime }}(x) + {f^{\prime \prime \prime }}(x) + 24\)

Vì \({f^{\prime \prime \prime \prime }}(x) = 24\). Gọi \({x_1};{x_2};{x_3}\) là các điểm cực trị của hàm số thì ta có \({g^\prime }\left( {{x_1}} \right) = {g^\prime }\left( {{x_2}} \right) = {g^\prime }\left( {{x_3}} \right) = 0\) và có thể giả sử \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( {{x_1}} \right) =  – 14}\\{g\left( {{x_2}} \right) = 4}\\{g\left( {{x_3}} \right) = 6}\end{array}} \right.\)

Xét phương trình: \(\frac{{f(x)}}{{g(x) + 24}} = 1 \Leftrightarrow f(x) = g(x) + 24 \Leftrightarrow {f^\prime }(x) + {f^{\prime \prime }}(x) + {f^{\prime \prime \prime }}(x) + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_1}}\\{x = {x_2}}\\{x = {x_3}}\end{array}} \right.\)

Diện tích hình phẳng cần tính là

\(S = \left| {\int_{{x_1}}^{{x_3}} {\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x) + 24}} – 1} \right)} {\rm{d}}x} \right| = \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x) + 24}} – 1} \right)} {\rm{d}}x} \right| + \left| {\int_{{x_2}}^{{x_3}} {\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x) + 24}} – 1} \right)} {\rm{d}}x} \right|\)

\( = \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{g'(x)}}{{g(x) + 24}}} \right)} {\rm{d}}x} \right| + \left| {\int_{{x_2}}^{{x_3}} {\left( {\frac{{g'(x)}}{{g(x) + 24}}} \right)} {\rm{d}}x} \right| = \left| {\left. {\ln \left| {g\left( {x) + 2x} \right)} \right|} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right| + \left| {\left. {\ln \left| {g\left( {x) + 2x} \right)} \right|} \right|_{{x_2}}^{{x_3}}} \right|\)

\( = \left| {\ln \left| {g\left( {{x_2}} \right) + 24} \right| – \ln \left| {g\left( {{x_1}} \right) + 24} \right|} \right| + \left| {\ln \left| {g\left( {{x_3}} \right) + 24} \right| – \ln \left| {g\left( {{x_2}} \right) + 24} \right|} \right| = \ln 3\)