Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{{{x}^{2}}+4x+1}{x+4}\cdot$

a) Tập xác định của hàm số đã cho là $D=\mathbb{R}.$.

Bài toán gốc

Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{{{x}^{2}}+4x+1}{x+4}\cdot$

a) Tập xác định của hàm số đã cho là $D=\mathbb{R}.$.

b) Hàm số đã cho không có cực trị.

c) Trục đối xứng của đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( -4;-4 \right).$.

d) Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận xiên và một đường tiệm cận đứng.

Lời giải: Đúng. ĐKXĐ $x+4\ne 0\Rightarrow$ TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -4 \right\}.$ Sai. $y=\dfrac{{{x}^{2}}+4x+1}{x+4}=x+\dfrac{1}{x+4}\Rightarrow y’=1-\dfrac{1}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-5 \\ x=-3 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow$ Hàm số có hai cực trị.Đúng. Trục đối xứng của đồ thị hàm số đi qua tâm đối xứng $\left( -4;-4 \right).$ Sai. Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $y=x$ và tiệm cận đứng $x=-4.$
(Sai) Tập xác định của hàm số đã cho là $D=\mathbb{R}.$
(Vì): ĐKXĐ $x+4\ne 0\Rightarrow$ TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -4 \right\}.$
(Sai) Hàm số đã cho không có cực trị.
(Vì): $y=\dfrac{{{x}^{2}}+4x+1}{x+4}=x+\dfrac{1}{x+4}\Rightarrow y’=1-\dfrac{1}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-5 \\ x=-3 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow$ Hàm số có hai cực trị.
(Đúng) Trục đối xứng của đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( -4;-4 \right).$
(Vì): Trục đối xứng của đồ thị hàm số đi qua tâm đối xứng $\left( -4;-4 \right).$
(Đúng) Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận xiên và một đường tiệm cận đứng.
(Vì): Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $y=x$ và tiệm cận đứng $x=-4.$

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán là khảo sát các tính chất cơ bản (Tập xác định, Cực trị, Tiệm cận, Đối xứng) của hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất, có dạng đồ thị là một hypebol. Phương pháp giải chủ yếu là thực hiện phép chia đa thức để đưa hàm số về dạng $y=ax+b+\frac{c}{x+d}$, từ đó dễ dàng xác định tiệm cận xiên, tiệm cận đứng và tâm đối xứng. Việc tìm cực trị được thực hiện bằng cách tính đạo hàm $y’ = a – \frac{c}{(x+d)^2}$ và giải phương trình $y’=0$.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{{{x}^{2}}-4x+5}{x-2}$. Hỏi có bao nhiêu khẳng định sau đây là ĐÚNG?
(I) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ 2 \right\}.$
(II) Hàm số không có cực trị.
(III) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là $I(2; 0).$
(IV) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x-2$.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Đáp án đúng: C
Lời giải ngắn gọn:
Phân tích hàm số: $y=\dfrac{x^2-4x+5}{x-2} = \dfrac{(x^2-4x+4) + 1}{x-2} = x-2 + \dfrac{1}{x-2}$.
(I) TXĐ: $x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$. Khẳng định (I) ĐÚNG.
(II) Ta có $y’ = 1 – \dfrac{1}{(x-2)^2}$. Cho $y’=0 \Leftrightarrow (x-2)^2 = 1 \Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=1$. Hàm số có hai cực trị. Khẳng định (II) SAI.
(III) Tâm đối xứng $I$ là giao điểm của TCĐ $x=2$ và TCX $y=x-2$. $I(2; 2-2) = I(2; 0)$. Khẳng định (III) ĐÚNG.
(IV) Đồ thị có TCĐ $x=2$ và TCX $y=x-2$. Khẳng định (IV) ĐÚNG.
Vậy có 3 khẳng định đúng: (I), (III), và (IV).