Cho hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ, với \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại điểm \({x_1};\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_2} = {x_1} + 2\) và \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) = 0\). Gọi \({S_1},\,{S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được tô trong hình vẽ dưới đây. Tỷ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\)bằng

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ, với \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại điểm \({x_1};\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_2} = {x_1} + 2\) và \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) = 0\). Gọi \({S_1},\,{S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được tô trong hình vẽ dưới đây. Tỷ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\)bằng

A. \(\frac{3}{5}\). 

B. \(\frac{5}{{11}}\). 

C. \(\frac{5}{{13}}\). 

D. \(\frac{5}{{21}}\). 

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Kết quả bài toán không thay đổi nếu ta tịnh tiến đồ thị sang trái sao cho \(I \equiv O\). Khi đó chọn đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Khi đó dễ thấy \(g\left( x \right)\) lẻ nên \(b = d = 0\) và \(g\left( x \right) = a{x^3} + cx\) có hai điểm cực trị tương ứng là \( – 1;\,1\), cũng là nghiệm của \(3a{x^2} + c = 0\). Do đó \(g\left( x \right) = a\left( {{x^3} – 3x} \right),\,a > 0\).

\({S_1} + {S_2} = \left| {2g\left( { – 1} \right)} \right| = 4a\).

\({S_1} = a\int\limits_{ – 1}^0 {\left| {{x^3} – 3x} \right|dx}  = \frac{5}{4}a \Rightarrow {S_2} = \frac{{11}}{4}a\).

Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{5}{{11}}\).