Cho hàm số \(y = f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c\)có đồ thị như hình vẽ. Biết \(y = f(x)\) đạt cực trị tại \({x_1} < {x_2} < {x_3}\), sao cho \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) lập thành cấp số cộng với công sai bằng 2 và \(f({x_1}) = f({x_3}) =  – 2f({x_2})\). Gọi \({S_1},\,\,{S_2}\)là diện tích phần gạch chéo trong hình. Tính \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\)

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(y = f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c\)có đồ thị như hình vẽ. Biết \(y = f(x)\) đạt cực trị tại \({x_1} < {x_2} < {x_3}\), sao cho \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) lập thành cấp số cộng với công sai bằng 2 và \(f({x_1}) = f({x_3}) =  – 2f({x_2})\). Gọi \({S_1},\,\,{S_2}\)là diện tích phần gạch chéo trong hình. Tính \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\)

A. \(\frac{{112}}{{118}}\). 

B. \(\frac{{112}}{{15}}\). 

C. \(16k\). 

D. \(\frac{{128}}{{15}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Theo giả thiết và từ hình vẽ ta suy ra \({x_1} =  – 2,\,\,{x_2} = 0,\,\,{x_3} = 2\).

Và \(f'(x) = kx({x^2} – 4),\,\,\,\,\,\,\,\,\,(k > 0)\).

Suy ra \(f(x) = k\int {({x^3} – 4x)dx = k\left( {\frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} + c} \right)} \).

Do \(f( – 2) = f(2) =  – 2f(0) \Rightarrow k(c – 4) =  – 2kc \Rightarrow c = \frac{4}{3}\).

Vậy \(f(x) = k\left( {\frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} + \frac{4}{3}} \right)\).

Gọi \(S = {S_1} + {S_2}\), suy ra \(S\)là phần diện tích hình chữ nhật như hình vẽ.

Suy ra \(S = 4.4k = 16k\),

\({S_2} = \int\limits_{ – 2}^2 {\left[ {k\left( {\frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} + \frac{4}{3}} \right) + \frac{{8k}}{3}} \right]} dx = \frac{{128}}{{15}}k\).

Suy ra \(S{}_1 = S – {S_2} = 16k – \frac{{128}}{{15}}k = \frac{{112}}{{15}}k\).

Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{112}}{{118}}\)