Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(y = f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c\)có đồ thị như hình vẽ. Biết \(y = f(x)\) đạt cực trị tại \({x_1} < {x_2} < {x_3}\), sao cho \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) lập thành cấp số cộng với công sai bằng 2 và \(f({x_1}) = f({x_3}) = – 2f({x_2})\). Gọi \({S_1},\,\,{S_2}\)là diện tích phần gạch chéo trong hình. Tính \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\)
A. \(\frac{{112}}{{118}}\).
B. \(\frac{{112}}{{15}}\).
C. \(16k\).
D. \(\frac{{128}}{{15}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Theo giả thiết và từ hình vẽ ta suy ra \({x_1} = – 2,\,\,{x_2} = 0,\,\,{x_3} = 2\).
Và \(f'(x) = kx({x^2} – 4),\,\,\,\,\,\,\,\,\,(k > 0)\).
Suy ra \(f(x) = k\int {({x^3} – 4x)dx = k\left( {\frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} + c} \right)} \).
Do \(f( – 2) = f(2) = – 2f(0) \Rightarrow k(c – 4) = – 2kc \Rightarrow c = \frac{4}{3}\).
Vậy \(f(x) = k\left( {\frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} + \frac{4}{3}} \right)\).
Gọi \(S = {S_1} + {S_2}\), suy ra \(S\)là phần diện tích hình chữ nhật như hình vẽ.
Suy ra \(S = 4.4k = 16k\),
\({S_2} = \int\limits_{ – 2}^2 {\left[ {k\left( {\frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} + \frac{4}{3}} \right) + \frac{{8k}}{3}} \right]} dx = \frac{{128}}{{15}}k\).
Suy ra \(S{}_1 = S – {S_2} = 16k – \frac{{128}}{{15}}k = \frac{{112}}{{15}}k\).
Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{112}}{{118}}\)
Trả lời