Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\,(a.c \ne 0)\)có đồ thị là đường cong \((C)\)như hình vẽ

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\,(a.c \ne 0)\)có đồ thị là đường cong \((C)\)như hình vẽ

Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x =  – 1\) và \((C’)\) là đồ thị hàm số \(y = \left| {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right|\). Đặt \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \((C’)\)và hai trục \(Ox,\,Oy\). Đặt \({S_2}\)là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \((C’)\),\(\Delta \)và \(y = 1\). Gọi \(k = \frac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\), giá trị của \(k\)thuộc khoảng nào sau đây?

A. \((4;5)\). 

B. \((1;3)\). 

C. \((3;4)\). 

D. \((1;2)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Căn cứ vào đồ thị ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{c} = 1\\ – \frac{d}{c} = 1\end{array} \right.\)và \(\left\{ \begin{array}{l} – \frac{b}{a} =  – 1\\\frac{b}{d} =  – 1\end{array} \right.\)

Suy ra \(a = b = c =  – d\), chọn \(a = 1\)\( \Rightarrow (C):y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\)

\( \Rightarrow y’ = \frac{{ – 2}}{{{{(x – 1)}^2}}}\)\( \Rightarrow y'( – 1) = \frac{{ – 1}}{2}\)

\( \Rightarrow \Delta :y =  – \frac{1}{2}x – \frac{1}{2}\), \(\Delta \)cắt \(y = 1\) tại \(B( – 3;1)\)

Từ đồ thị \((C)\)ta suy ra đồ thị \((C’)\)bằng cách giữ nguyên đồ thị \((C)\)nằm phía trên trục hoành, bỏ phần đồ thị \((C)\)nằm phía dưới trục hoành nhưng lấy đối xứng của phần này qua truc hoành.Gọi các điểm \(A,B,C\) như trên hình vẽ.

Ta có \({S_1} = \int\limits_{ – 1}^0 {\left| {\frac{{x + 1}}{{x – 1}}} \right|} dx\)= \( – \int\limits_{ – 1}^0 {\frac{{x + 1}}{{x – 1}}} dx =  – \int\limits_{ – 1}^0 {(1 + \frac{2}{{x – 1}}} )dx\) 

\( =  – 1 + 2\ln 2\)

Lại có \({S_{OABC}} = \frac{{(OA + BC)OC}}{2} = 2\)

Suy ra \({S_2} = {S_{OABC}} – {S_1} = 3 – 2\ln 2\)

\( \Rightarrow k = \frac{{3 – 2\ln 2}}{{ – 1 + 2\ln 2}} \approx 4,2\)