Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^3} + b{x^2} + 3\) có đồ thì \(\left( C \right)\). Đường thẳng \(y = 1\) là tiếp tuyến tại điểm cực tiểu có hoành độ \({x_2}\) của đồ thị \(\left( C \right)\) đồng thời cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_1}\). Tính tỷ số diện tích \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\)với \({S_1},\,{S_2}\) được thể hiện trong hình vẽ.

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^3} + b{x^2} + 3\) có đồ thì \(\left( C \right)\). Đường thẳng \(y = 1\) là tiếp tuyến tại điểm cực tiểu có hoành độ \({x_2}\) của đồ thị \(\left( C \right)\) đồng thời cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_1}\). Tính tỷ số diện tích \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\)với \({S_1},\,{S_2}\) được thể hiện trong hình vẽ.

A. \(1\). 

B. \(\frac{{27}}{{51}}\). 

C. \(\frac{{24}}{{51}}\). 

D. \(\frac{9}{8}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(y’ = \frac{3}{2}{x^2} + 2bx = \frac{3}{2}x\left( {x + \frac{4}{3}b} \right) = 0 \Rightarrow {x_2} =  – \frac{4}{3}b\)

Ta có \({x_2} =  – \frac{4}{3}b\) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = 1\) nên:

\(\frac{1}{2}{\left( { – \frac{4}{3}b} \right)^3} + b{\left( { – \frac{4}{3}b} \right)^2} + 3 = 1 \Leftrightarrow b =  – \frac{3}{2}\)

Đồ thị \(\left( C \right)\) có phương trình: \(y = \frac{1}{2}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2} + 3\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = 1\)

\(\frac{1}{2}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2} + 3 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Ta có:

\({S_1} + {S_2} = \int\limits_{ – 1}^2 {\left( {\frac{1}{2}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2} + 3} \right)} dx = \frac{{51}}{8}\)

\({S_2} = 3\). 

Suy ra \({S_1} = \frac{{51}}{8} – 3 = \frac{{27}}{8}\)

Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{9}{8}\). Phương án D