Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) có đồ thị \(\left( C \right)\), đường thẳng \(y = mx + n\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = – 1\) và cắt \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {{x^2} – 1} \right){2^{f\left( x \right) – mx – n}}\) và trục hoành bằng

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) có đồ thị \(\left( C \right)\), đường thẳng \(y = mx + n\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = – 1\) và cắt \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {{x^2} – 1} \right){2^{f\left( x \right) – mx – n}}\) và trục hoành bằng

A. \(\frac{{15}}{{16.\ln 2}}\).

B. \(\frac{{15}}{{16}}\).

C. \(\frac{5}{{16}}\ln 2\).

D. \(\frac{5}{{16.\ln 2}}\).

GY:

Vì \(f\left( x \right) – mx – n = {x^3} + a{x^2} + \left( {b – m} \right)x + c – n\) là hàm số bậc ba có hai nghiệm \(x = – 1\)và \(x = 2\) nên \(f\left( x \right) – mx – n = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x – 2} \right)\).

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – mx – n = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x – 2} \right)\), suy ra \(g’\left( x \right) = 3{x^2} – 3\).

Phương trình hoành độ giao điểm \(\left( {{x^2} – 1} \right){2^{g\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 1\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng cần tìm là

\(S = \left| {\int\limits_{ – 1}^1 {\left( {{x^2} – 1} \right){{.2}^{g\left( x \right)}}{\rm{d}}x} } \right| = \frac{1}{3}\left| {\int\limits_{ – 1}^1 {g’\left( x \right){{.2}^{g\left( x \right)}}{\rm{d}}x} } \right| = \frac{5}{{16.\ln 2}}\).

=======