Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) nằm phía trên trục hoành. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn các điều kiện \({\left( {f’\left( x \right)} \right)^2} + f”\left( x \right).f\left( x \right) + 4 = 0\)\(,f\left( 0 \right) = 0,\;f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \sqrt 3 \). Tínhdiện tích \(S\) là hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\) và trục hoành.
A. \(\pi \).
B. \(\frac{\pi }{4}\).
C. \(\frac{\pi }{2}\).
D. \(2\pi \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \({\left( {f’\left( x \right)} \right)^2} + f”\left( x \right).f\left( x \right) + 4 = 0\).
\( \Leftrightarrow {\left( {f’\left( x \right)} \right)^2} + f”\left( x \right).f\left( x \right) = – 4 \Leftrightarrow {\left( {f’\left( x \right).f\left( x \right)} \right)^\prime } = – 4\).
\( \Rightarrow \int {{{\left( {f’\left( x \right).f\left( x \right)} \right)}^\prime }dx} = \int {\left( { – 4} \right)} \;dx\)\( \Leftrightarrow f’\left( x \right).f\left( x \right) = – 4x + C\).
\( \Rightarrow \int {f’\left( x \right).f\left( x \right)dx = \int {\left( { – 4x + C} \right)} } \;dx \Leftrightarrow \int {f\left( x \right)\;} df\left( x \right) = – 2{x^2} + Cx + {C_1}\).
\( \Leftrightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = – 2{x^2} + Cx + {C_1} \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = – 4{x^2} + 2Cx + 2{C_1}\)
Mà \(f\left( 0 \right) = 0,\;f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \sqrt 3 \).
Nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2{C_1} = 0\\C + 2{C_1} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_1} = 0\\C = 4\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt { – 4{x^2} + 8x} \).
\( – 4{x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
\(S = \int\limits_0^2 {\sqrt { – 4{x^2} + 8x} } dx = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {x\left( {2 – x} \right)} } dx\).
Đặt \(x = 2{\sin ^2}t \Rightarrow dx = 2\sin 2tdt\).
Đổi cận:\(x = 0 \Rightarrow t = 0,x = 2 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\).
\(2\int\limits_0^2 {\sqrt {x\left( {2 – x} \right)} } dx = 4\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}2tdt} = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 – \cos 4t} \right)} dt = 2\left( {t – \frac{{\sin 4t}}{4}} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. = \pi \).
Vậy: \(S = \pi \).
Trả lời