Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) nằm phía trên trục hoành. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn các điều kiện \({\left( {f’\left( x \right)} \right)^2} + f”\left( x \right).f\left( x \right) + 4 = 0\)\(,f\left( 0 \right) = 0,\;f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \sqrt 3 \). Tínhdiện tích \(S\) là hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\) và trục hoành. 

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) nằm phía trên trục hoành. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn các điều kiện \({\left( {f’\left( x \right)} \right)^2} + f”\left( x \right).f\left( x \right) + 4 = 0\)\(,f\left( 0 \right) = 0,\;f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \sqrt 3 \). Tínhdiện tích \(S\) là hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\) và trục hoành. 

A. \(\pi \). 

B. \(\frac{\pi }{4}\). 

C. \(\frac{\pi }{2}\). 

D. \(2\pi \).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \({\left( {f’\left( x \right)} \right)^2} + f”\left( x \right).f\left( x \right) + 4 = 0\).

\( \Leftrightarrow {\left( {f’\left( x \right)} \right)^2} + f”\left( x \right).f\left( x \right) =  – 4 \Leftrightarrow {\left( {f’\left( x \right).f\left( x \right)} \right)^\prime } =  – 4\).

\( \Rightarrow \int {{{\left( {f’\left( x \right).f\left( x \right)} \right)}^\prime }dx}  = \int {\left( { – 4} \right)} \;dx\)\( \Leftrightarrow f’\left( x \right).f\left( x \right) =  – 4x + C\).

\( \Rightarrow \int {f’\left( x \right).f\left( x \right)dx = \int {\left( { – 4x + C} \right)} } \;dx \Leftrightarrow \int {f\left( x \right)\;} df\left( x \right) =  – 2{x^2} + Cx + {C_1}\).

\( \Leftrightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} =  – 2{x^2} + Cx + {C_1} \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) =  – 4{x^2} + 2Cx + 2{C_1}\)

Mà \(f\left( 0 \right) = 0,\;f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \sqrt 3 \).

Nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2{C_1} = 0\\C + 2{C_1} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_1} = 0\\C = 4\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt { – 4{x^2} + 8x} \).

\( – 4{x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

\(S = \int\limits_0^2 {\sqrt { – 4{x^2} + 8x} } dx = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {x\left( {2 – x} \right)} } dx\).

Đặt \(x = 2{\sin ^2}t \Rightarrow dx = 2\sin 2tdt\).

Đổi cận:\(x = 0 \Rightarrow t = 0,x = 2 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\).

\(2\int\limits_0^2 {\sqrt {x\left( {2 – x} \right)} } dx = 4\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}2tdt}  = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 – \cos 4t} \right)} dt = 2\left( {t – \frac{{\sin 4t}}{4}} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. = \pi \).

Vậy: \(S = \pi \).