Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) và thỏa mãn \(f(1) = – \frac{1}{2}\) và

\(\frac{{f(x) – xf'(x)}}{{{f^2}(x)}} = 3{x^2} – 1,\forall x \in [1;3].\) Giá trị của tích phân \(\int\limits_2^3 {f'(x)dx} \) bằng

Câu hỏi:
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) và thỏa mãn \(f(1) = – \frac{1}{2}\) và

\(\frac{{f(x) – xf'(x)}}{{{f^2}(x)}} = 3{x^2} – 1,\forall x \in [1;3].\) Giá trị của tích phân \(\int\limits_2^3 {f'(x)dx} \) bằng

A. \(\frac{{ – 4}}{{11}}\).

B. \(\frac{{ – 23}}{{308}}\).

C. \(\frac{{ – 23}}{{11}}\).

D. \(\frac{{ – 4}}{{108}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(\frac{{f(x) – xf'(x)}}{{{f^2}(x)}} = 3{x^2} – 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{x}{{f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = 3{x^2} – 1\)

\( \Rightarrow \int {\left( {\frac{x}{{f\left( x \right)}}} \right)} dx = \int {\left( {3{x^2} – 1} \right)} dx \Rightarrow \frac{x}{{f\left( x \right)}} = {x^3} – x + C\)

Mà: \(\frac{1}{{f(1)}} = 1 – 1 + C \Rightarrow C = – 2\)

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{{f(2)}} = 8 – 2 – 2}\\{\frac{3}{{f(3)}} = 27 – 3 – 2}\end{array}} \right.{\rm{ }} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(2) = \frac{1}{2}}\\{f(3) = \frac{3}{{22}}}\end{array}} \right.\)

Vậy: \(\int\limits_2^3 {f'(x)dx} = f\left( 3 \right) – f\left( 2 \right) = \frac{{ – 4}}{{11}}\).

=======