Cho hàm số \(f(x) = 3{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(b,c,d \in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(g(x) = f(x) + f'(x) + f”(x)\) có hai giá trị cực trị là \( – 12;6\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x) + 18}}\) và \(y = 1\) bằng

Cho hàm số \(f(x) = 3{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(b,c,d \in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(g(x) = f(x) + f'(x) + f”(x)\) có hai giá trị cực trị là \( – 12;6\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x) + 18}}\) và \(y = 1\) bằng

     A. \(2\ln 3\)                      

B. \(\ln 6\)    

C. \(2\ln 2\)                       

D. \(\ln 5\)

Lời giải

Xét hàm số: \(g(x) = f(x) + f'(x) + f”(x)\)

Ta có \({g^\prime }(x) = {f^\prime }(x) + {f^{\prime \prime }}(x) + {f^{\prime \prime \prime }}(x) = {f^\prime }(x) + {f^{\prime \prime }}(x) + 18\)

Vì \(f”'(x) = 18\). Gọi \({x_1};{x_2}\) là các điểm cực trị của hàm số thì ta có \(g’\left( {{x_1}} \right) = g’\left( {{x_2}} \right) = 0\) và có thể giả sử \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( {{x_1}} \right) =  – 12}\\{g\left( {{x_2}} \right) = 6}\end{array}} \right.\)

Xét phương trình: \(\frac{{f(x)}}{{g(x) + 18}} = 1 \Leftrightarrow f(x) = g(x) + 18 \Leftrightarrow f'(x) + f”(x) + 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_1}}\\{x = {x_2}}\end{array}} \right.\)

Diện tích hình phẳng cần tính là \(S = \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x) + 18}} – 1} \right)} {\rm{d}}x} \right| = \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{f(x) – g(x) – 18}}{{g(x) + 18}}} \right)} {\rm{d}}x} \right| = \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{g'(x)}}{{g(x) + 18}}} \right)} {\rm{d}}x} \right| = \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{(g(x) + 18)’}}{{g(x) + 18}}} \right)} {\rm{d}}x} \right|\)

\(\left| {\left. {\ln \left| {g\left( x \right) + 18} \right|} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right| = \left| {\ln \left| {g\left( {{x_2}} \right) + 18} \right| – \ln \left| {g\left( {{x_1}} \right) + 18} \right|} \right| = 2\ln 2\)