Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^4} – 4{x^3} + 4{x^2} + a} \right|\). Gọi \(M\), \(m\)là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số đã cho trên \(\left[ {0;2} \right]\). Có bao nhiêu số nguyên \(a\)thuộc \(\left[ { – 4;4} \right]\) sao cho \(M \le 2m\)?

Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^4} – 4{x^3} + 4{x^2} + a} \right|\). Gọi \(M\), \(m\)là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số đã cho trên \(\left[ {0;2} \right]\). Có bao nhiêu số nguyên \(a\)thuộc \(\left[ { – 4;4} \right]\) sao cho \(M \le 2m\)?

A. \(5\).

B. \(7\).

C. \(6\)

D. \(4\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} – 4{x^3} + 4{x^2} + a\) trên \(\left[ {0;2} \right]\).

\(g’\left( x \right) = 4{x^3} – 12{x^2} + 8x\); \(g’\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\); \(g\left( 0 \right) = a\), \(g\left( 1 \right) = a + 1\), \(g\left( 2 \right) = a\).

Suy ra: \(a \le g\left( x \right) \le a + 1\).

TH1: \(0 \le a \le 4\)\( \Rightarrow a + 1 \ge a > 0\) \( \Rightarrow M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right)\) \( = a + 1\); \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right)\) \( = a\).

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le a \le 4\\a + 1 \le 2a\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 1 \le a \le 4\). Do đó: có \(4\) giá trị của \(a\) thỏa mãn.

TH2: \( – 4 \le a \le – 1\) \( \Rightarrow a \le a + 1 \le – 1\)\( \Rightarrow \left| {a + 1} \right| \le \left| a \right|\)

\( \Rightarrow M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right)\)\( = \left| a \right|\)\( = – a\); \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right)\) \( = \left| {a + 1} \right|\)\( = – a – 1\).

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} – 4 \le a \le – 1\\ – a \le – 2a – 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow – 4 \le a \le – 2\). Do đó: có \(3\) giá trị của \(a\) thỏa mãn.

Vậy có tất cả \(7\)giá trị thỏa mãn.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số