Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{\left[ {g\left( x \right)} \right]^4} + x\left( {bx – 4b} \right) + 4b + c\) (\(a,b,c \in \mathbb{R}\)) với \(x = g\left( x \right) + 2\). Biết \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại ba điểm \({x_1},{x_2}\) và \({x_3}\) thỏa \({x_3} = {x_2} + 1 = {x_1} + 2\) và \(f\left( {{x_3}} \right) – f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)\).Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\)như hình vẽ, đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(x = {x_2}\) làm trục đối xứng Gọi \({S_1},{S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Giá trị \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2} – 8}}\) bằng

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{\left[ {g\left( x \right)} \right]^4} + x\left( {bx – 4b} \right) + 4b + c\) (\(a,b,c \in \mathbb{R}\)) với \(x = g\left( x \right) + 2\). Biết \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại ba điểm \({x_1},{x_2}\) và \({x_3}\) thỏa \({x_3} = {x_2} + 1 = {x_1} + 2\) và \(f\left( {{x_3}} \right) – f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)\).Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\)như hình vẽ, đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(x = {x_2}\) làm trục đối xứng Gọi \({S_1},{S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Giá trị \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2} – 8}}\) bằng

A. \(\frac{8}{7}\). 

B. \(\frac{{15}}{{14}}\). 

C. \(\frac{{23}}{{17}}\). 

D. \(\frac{{31}}{{27}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(x = g\left( x \right) + 2 \Leftrightarrow g\left( x \right) = x – 2\).

Ta có: 

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,f\left( x \right) = a{\left[ {g\left( x \right)} \right]^4} + x\left( {bx – 4b} \right) + 4b + c\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = a{\left[ {g\left( x \right)} \right]^4} + b{x^2} – 4bx + 4b + c\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = a{\left[ {g\left( x \right)} \right]^4} + b{\left( {x – 2} \right)^2} + c\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = a{\left[ {g\left( x \right)} \right]^4} + b{\left[ {g\left( x \right)} \right]^2} + c\end{array}\)

Tịnh tiến đồ thị \(f\left( x \right)\) sang trái 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số \(h\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) và \(h\left( x \right)\) đạt cực trị tại \({x_2} = 0,{x_3} = 1,{x_1} =  – 1\). Đồng thời diện tích \({S_1},{S_2}\) không đổi.

Ta có \(h’\left( x \right) = 4a{x^3} + 2bx\). Do \(h’\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow b =  – 2a \Rightarrow h\left( x \right) = a{x^4} – 2a{x^2} + c\).

Mặt khác \(h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0 \Rightarrow h\left( x \right) = a{x^4} – 2a{x^2}\left( {a > 0} \right) \Rightarrow h\left( { \pm 1} \right) =  – a\).

Diện tích hình chữ nhật là \({S_1} + {S_2} = 2\left( {4 + a} \right) = 8 + 2a\).

Ta có \({S_1} = \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {a{x^4} – 2a{x^2} + a} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{a{x^5}}}{5} – \frac{2}{3}a{x^3} + ax} \right)} \right|_{ – 1}^1 = \frac{{16a}}{{15}}\). Suy ra \({S_2} = 8 + \frac{{14a}}{{15}}\).

Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2} – 8}} = \frac{8}{7}\).