Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(b,\,c,\,d \in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right)\) có hai giá trị cực trị là \( – 12;\,\,6\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 18}}\) và \(y = 1\) bằng

Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(b,\,c,\,d \in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right)\) có hai giá trị cực trị là \( – 12;\,\,6\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 18}}\) và \(y = 1\) bằng

A. \(2\ln 3\).

B. \(\ln 6\).

C. \(2\ln 2\).

D. \(\ln 5\).

GY:

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right)\)

Ta có \(g’\left( x \right) = f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + f”'(x) = f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + 18\)

Vì \(f”’\left( x \right) = 18\). Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là các điểm cực trị của hàm số thì ta có \(g’\left( {{x_1}} \right) = g’\left( {{x_2}} \right) = 0\) và có thể giả sử \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( {{x_1}} \right) = – 12\\g\left( {{x_2}} \right) = 6\end{array} \right.\)

Xét phương trình:

\(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 18}} = 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + 18 \Leftrightarrow f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1}\\x = {x_2}\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng cần tính là

\(S = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 18}} – 1} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{f\left( x \right) – g\left( x \right) – 18}}{{g\left( x \right) + 18}}} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{g’\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 18}}} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{(g\left( x \right) + 18)’}}{{g\left( x \right) + 18}}} \right){\rm{d}}x} } \right|\)\( = \left| {\ln \left| {g\left( x \right) + 18} \right|\left| {_{{x_1}}^{{x_2}}} \right.} \right|\)\( = \left| {\ln \left| {g\left( {{x_2}} \right) + 18} \right| – \ln \left| {g\left( {{x_1}} \right) + 18} \right|} \right|\)\( = \left| {\ln \left| {6 + 18} \right| – \ln \left| { – 12 + 18} \right|} \right| = \ln 4 = 2\ln 2\).

=======