Cho hàm số bậc bốn\(y = f\left( x \right)\) đồ thị \(\left( C \right)\) như hình bên, biết \(\left( C \right)\) nhận trục tung làm trục đối xứng. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại các điểm \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \({x_3} = {x_1} + 4,f\left( {{x_1}} \right) + 8f\left( {{x_2}} \right) + f\left( {{x_3}} \right) = 0\). Gọi \({S_1},{S_2},{S_3}\) là diện tích hình phẳng được đánh dấu như hình bên. Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_1} + {S_2} + {S_3}}}\).

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc bốn\(y = f\left( x \right)\) đồ thị \(\left( C \right)\) như hình bên, biết \(\left( C \right)\) nhận trục tung làm trục đối xứng. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại các điểm \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \({x_3} = {x_1} + 4,f\left( {{x_1}} \right) + 8f\left( {{x_2}} \right) + f\left( {{x_3}} \right) = 0\). Gọi \({S_1},{S_2},{S_3}\) là diện tích hình phẳng được đánh dấu như hình bên. Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_1} + {S_2} + {S_3}}}\).

A. \(\frac{7}{{30}}\). 

B. \(\frac{{32}}{{30}}\). 

C. \(\frac{{16}}{{15}}\). 

D. \(\frac{{512}}{{15}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng nên \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn trùng phương. 

Đặt \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\)

Lại có \({x_3} = {x_1} + 4\), suy ra \({x_1} =  – 2,\,{x_2} = 0,{x_3} = 2\)

Đồng thời cực trị \({x_1}\) cũng là nghiệm của phương trình \(f’\left( x \right) = 0\), với \(f’\left( x \right) = 4a{x^3} + 2bx\)

Suy ra \(f’\left( {{x_1}} \right) = 0 \Leftrightarrow  – 32a – 4b = 0 \Leftrightarrow b =  – 8a\)

Khi đó \(f\left( x \right) = a{x^4} – 8a{x^2} + c\)

Ta có\(f\left( {{x_1}} \right) + 8f\left( {{x_2}} \right) + f\left( {{x_3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2\left( {16a – 32a + c} \right) + 8c = 0 \Leftrightarrow c = \frac{{16}}{5}a\)

Vậy \(f\left( x \right) = a{x^4} – 8a{x^2} + \frac{{16}}{5}a = a\left( {{x^4} – 8{x^2} + \frac{{16}}{5}} \right)\)

Ta có \({S_1} + {S_2} + {S_3} = \left( {{x_3} – {x_1}} \right)\left( {\left| {f\left( {{x_2}} \right)} \right| + \left| {f\left( {{x_1}} \right)} \right|} \right) = 4\left( {\frac{{16}}{5}a + \frac{{64}}{5}a} \right) = 64a\).

Diện tích phần \({S_2}\) là \({S_2} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_3}} {\left| {f\left( x \right) – f\left( {{x_3}} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ – 2}^2 {\left| {a\left( {{x^4} – 8{x^2} + \frac{{16}}{5}} \right) + \frac{{64}}{5}a} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{512}}{{15}}a\).

\({S_1} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left( x \right) – f\left( {{x_2}} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ – 2}^0 {\left| {a\left( {{x^4} – 8{x^2} + \frac{{16}}{5}} \right) – \frac{{16}}{5}a} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{224}}{{15}}a\); do tính đối xứng nên \({S_3} = {S_1}\)

Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_1} + {S_2} + {S_3}}} = \frac{7}{{30}}\).