Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc bốn \(y = f(x)\) có đồ thị là đường cong trong hình. Biết hàm số \(y = f(x)\) đạt cực trị tại ba điểm \({x_1};\,{x_2};\,{x_3}\) thỏa mãn \({x_1} + 3 = {x_2} = \,{x_3} – 1\). Gọi \({S_1}\)là diện tích của hình phẳng được tô đậm và \({S_2}\) là diện tích của hình phẳng được gạch chéo trong hình bên. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng
A. \(\frac{{891}}{{17}}\).
B. \(\frac{{297}}{{20}}\).
C. \(\frac{{17}}{{60}}\).
D. \(\frac{{227}}{{15}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tịnh tiến đồ thị \(y = f(x)\)sang trái sao cho điểm cực trị \({x_2}\) trùng với gốc tọa độ. Ta thấy diện tích \({S_1}\); \({S_2}\) không thay đổi. Đồ thị \(y = f(x)\)chuyển thành đồ thị \(y = g(x)\)
Dựa vào đồ thị ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2} = 0}\\{{x_1} = – 3}\\{{x_3} = 1}\end{array}} \right.\) là ba điểm cực trị của hàm số \(y = g(x)\) nên suy ra
\(g'(x) = a\left( {x + 3} \right).x.\left( {x – 1} \right),\quad (a > 0)\)
\( \Rightarrow g(x) = a\int {\left( {x + 3} \right).x.\left( {x – 1} \right)dx = } \,a\int {\left( {{x^3} + 2{x^2} – 3x} \right)dx = } \,a\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{2{x^3}}}{3} – \frac{{3{x^2}}}{2}} \right) + C\)
Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;0} \right)\) nên \(C = 0.\) Suy ra \(g(x) = \,a\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{2{x^3}}}{3} – \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)\)
Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{S_1} = – \int\limits_{ – 3}^0 {a\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{2{x^3}}}{3} – \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)dx = \frac{{297a}}{{20}}} }\\{{S_2} = – \int\limits_0^1 {a\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{2{x^3}}}{3} – \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)dx = \frac{{17a}}{{60}}} }\end{array}} \right.\, \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{891}}{{17}}.\)
Để lại phản hồi