Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới, đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(x = {x_2}\) làm trục đối xứng. Biết hàm \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại các điểm \({x_1} < {x_2} < {x_3}\), ở đó \({x_1};{x_2};{x_3}\)thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai \(d = 3\), biết \(f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_3}} \right) = \frac{1}{4}f\left( {{x_2}} \right)\). Gọi \({S_1},{S_2}\)là diện tích các hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ. Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\)

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới, đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(x = {x_2}\) làm trục đối xứng. Biết hàm \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại các điểm \({x_1} < {x_2} < {x_3}\), ở đó \({x_1};{x_2};{x_3}\)thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai \(d = 3\), biết \(f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_3}} \right) = \frac{1}{4}f\left( {{x_2}} \right)\). Gọi \({S_1},{S_2}\)là diện tích các hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ. Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\)

A. \(\frac{{13}}{2}\). 

B. \(\frac{7}{8}\).

C. \(\frac{{81}}{{10}}\). 

D. \(\frac{3}{4}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tịnh tiến đồ thị hàm số sang trái sao cho trục đối xứng trùng với \(Oy\). Giả sử sau khi tịnh tiếnta được đồ thị có dạng \(g\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\). Do hàm số chẵn nên \(b = d = 0\). Vậy\(g\left( x \right) = a{x^4} + c{x^2} + e\). Do hàm số \(g\left( x \right) = a{x^4} + c{x^2} + e\) đạt cực trị tại các điểm có hoành độ

\( – 3;0;3\) nên \(g’\left( x \right) = kx\left( {{x^2} – 9} \right)\), với \(k > 0\).

\(g\left( x \right) = k\int {\left( {{x^3} – 9x} \right)dx = k\left( {\frac{1}{4}{x^4} – \frac{9}{2}{x^2} + {c_1}} \right)} \).

Do \(g\left( { – 3} \right) = g\left( 3 \right) = \frac{1}{4}g\left( 0 \right)\) nên có\(k\left( { – \frac{{81}}{4} + {c_1}} \right) = \frac{1}{4}k{c_1} \Leftrightarrow \frac{3}{4}k{c_1} = \frac{{81}}{4}k \Leftrightarrow {c_1} = 27\)

Vậy \(g\left( x \right) = k\left( {\frac{1}{4}{x^4} – \frac{9}{2}{x^2} + 27} \right)\). 

Gọi \(S\)là tổng diện tích hai hình \({S_1};{S_2}\). 

Ta có \(S = \frac{{243}}{4}k\),\({S_2} = \int\limits_0^3 {\left[ {g\left( x \right) – g\left( 3 \right)} \right]} {\rm{d}}x = \int\limits_0^3 {\left[ {k\left( {\frac{1}{4}{x^4} – \frac{9}{2}{x^2} + 27} \right) – \frac{{27k}}{4}} \right]} {\rm{d}}x = \frac{{162k}}{5}\).

\({S_1} = S – {S_2} = \frac{{243k}}{4} – \frac{{162k}}{5} = \frac{{267k}}{{20}}\). Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{7}{8}\)