Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) có ba điểm cực trị \({x_1},{x_2},{x_3}\) và ba điểm cực trị này tạo thành một cấp số cộng có công sai bằng \(2\) thỏa mãn \(f\left( {{x_3}} \right) = 4\).Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = {x_2}\) làm trục đối xứng, gọi \({S_1},{S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) có ba điểm cực trị \({x_1},{x_2},{x_3}\) và ba điểm cực trị này tạo thành một cấp số cộng có công sai bằng \(2\) thỏa mãn \(f\left( {{x_3}} \right) = 4\).Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = {x_2}\) làm trục đối xứng, gọi \({S_1},{S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng

A. \(\frac{{47}}{{28}}\). 

B. \(\frac{8}{7}\). 

C. \(\frac{7}{8}\). 

D. \(\frac{{28}}{{47}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tịnh tiến đồ thị sang bên trái sao cho trục đối xứng trùng với trục \(Oy\)

Gọi \(g\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\) là đồ thị hàm số sau khi tịnh tiến.

Dễ thấy, hàm số\(g\left( x \right)\) có hệ số \(a < 0\), đồ thị nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng và đi qua gốc tọa độ.

Suy ra \(g\left( x \right)\) là hàm số chẵn nên \(b = d = 0\) và \(e = 0\)

Khi đó, \(g\left( x \right) = a{x^4} + c{x^2}\) \(\left( {a < 0} \right)\)

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành một cấp số cộng có công sai bằng 2 suy ra \(g\left( x \right)\) cũng vậy \( \Rightarrow g’\left( x \right) = kx\left( {{x^2} – 4} \right) = k\left( {{x^3} – 4x} \right)\) \(\left( {k < 0} \right)\)

\(g\left( x \right) = \int {g’\left( x \right){\rm{d}}x = } \int {k\left( {{x^3} – 4x} \right){\rm{d}}x = } k\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – 2{x^2} + C} \right)\)

Theo giả thiết \(f\left( {{x_3}} \right) = 4 \Rightarrow g\left( {{x_3}} \right) = 4\) hay \(g\left( 2 \right) = 4 \Leftrightarrow k\left( { – 4 + C} \right) = 4\)\( \Rightarrow k =  – 1\), \(C = 0\).

Vậy \(g\left( x \right) =  – \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2}\).

Do đồ thị \(g\left( x \right)\) nhận \(Oy\) làm trục đối xứng nên \({S_1}’ = {S_1}”\) khi đó \({S_1} = 2{S_1}’ = 2\int\limits_0^2 {\left| { – \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2}} \right|{\rm{d}}x = } \frac{{112}}{{15}}\)

Gọi \(S\) là diện tích hình vuông \(ABCD\) suy ra \({S_2} = S – {S_1} = 4.4 – \frac{{112}}{{15}} = \frac{{128}}{{15}}\).

Vậy tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{7}{8}\). \(\)