Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\) như hình vẽ bên dưới. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại ba điểm \({x_1}\), \({x_2}\), \(\,{x_3}\) thỏa mãn \({x_3} = {x_1} + 4\), \(f({x_1}) + f({x_3}) + \frac{{18}}{7}f({x_2}) = 0\) và \(\left( C \right)\) nhận đường thẳng \(x = {x_2}\) làm trục đối xứng. Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) lần lượt là diện tích của hình phẳng được gạch chéo và hình phẳng được tô màu xanh. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng
A. \(\frac{6}{{11}}\).
B. \(\frac{5}{{16}}\).
C. \(\frac{5}{{11}}\).
D. \(\frac{7}{{11}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tịnh tiến \(\left( C \right)\) sang trái \({x_2}\) đơn vị thì từ giả thiết ta được \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm trùng phương \(y = g\left( x \right)\) có ba điểm cực trị là \( – 2\,;\,0\,;\,\,2\). Suy ra: \(g\left( x \right) = a\left( {{x^4} – 8{x^2}} \right) + b\,\,\,\left( {a < 0} \right)\).
Khi đó: \(f({x_1}) = g\left( { – 2} \right) = – 16a + b\), \(f({x_3}) = g\left( 2 \right) = – 16a + b\), \(f({x_2}) = g\left( 0 \right) = b\).
Vậy \(f({x_1}) + f({x_3}) + \frac{{18}}{7}f({x_2}) = 0\)\( \Leftrightarrow – 32a + 2b + \frac{{18}}{7}b = 0\)\( \Leftrightarrow b = 7a\)\( \Rightarrow g\left( x \right) = a\left( {{x^4} – 8{x^2} + 7} \right)\).
\({S_1} = \int\limits_{ – 2}^2 {\left| {a\left( {{x^4} – 8{x^2} + 7} \right)} \right|} dx = – 20a\); \({S_{ABCD}} = AB.BC = 4.\left[ {g\left( 2 \right) – g\left( 0 \right)} \right] = – 64a\)\( \Rightarrow {S_2} = {S_{ABCD}} – {S_1} = – 44a\).
Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{5}{{11}}\).
Để lại phản hồi