Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc bốn trùng phương\(y = f\left( x \right) = a{x^4} – b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ.
Tính tỉ số diện tích\(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\)
A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
B. \(\frac{1}{2}\).
C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
D. \(1\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Dựa vào đồ thị, ta được \(a,b,c > 0\).
Do đồ thị hàm số tiếp xúc với trục \(Ox\) nên phương trình hoành độ giao điểm\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow a{x^4} – b{x^2} + c = 0\)có hai nghiệm kép
\( \Leftrightarrow {b^2} – 4ac = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 4ac\)
Khi đó:
\({S_1} = – \int\limits_{ – \sqrt {\frac{b}{a}} }^0 {\left( {a{x^4} – b{x^2}} \right)dx} = – \left. {\left( {\frac{{a{x^5}}}{5} – \frac{{b{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ – \sqrt {\frac{b}{a}} }^0 = – \frac{{a{b^2}}}{{5{a^2}}}\sqrt {\frac{b}{a}} + \frac{{{b^2}}}{{3a}}\sqrt {\frac{b}{a}} = \frac{{8c}}{{15}}\sqrt {\frac{b}{a}} \)
\({S_2} = \int\limits_{ – \sqrt {\frac{b}{{2a}}} }^{\sqrt {\frac{b}{{2a}}} } {\left( {a{x^4} – b{x^2} + c} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{a{x^5}}}{5} – \frac{{b{x^3}}}{3} + cx} \right)} \right|_{ – \sqrt {\frac{b}{{2a}}} }^{\sqrt {\frac{b}{{2a}}} } = \frac{{2a{b^2}}}{{20{a^2}}}\sqrt {\frac{b}{{2a}}} – \frac{{2{b^2}}}{{6a}}\sqrt {\frac{b}{{2a}}} + 2c\sqrt {\frac{b}{{2a}}} = \frac{{16c}}{{15}}\sqrt {\frac{b}{{2a}}} \)
Vậy tỉ số:\(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{8c}}{{15}}\sqrt {\frac{b}{a}} :\frac{{16c}}{{15\sqrt 2 }}\sqrt {\frac{b}{a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Trả lời