Cho hàm số bậc bốn trùng phương\(y = f\left( x \right) = a{x^4} – b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ. 

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc bốn trùng phương\(y = f\left( x \right) = a{x^4} – b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ. 

Tính tỉ số diện tích\(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) 

A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\). 

B. \(\frac{1}{2}\). 

C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\). 

D. \(1\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Dựa vào đồ thị, ta được \(a,b,c > 0\). 

Do đồ thị hàm số tiếp xúc với trục \(Ox\) nên phương trình hoành độ giao điểm\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow a{x^4} – b{x^2} + c = 0\)có hai nghiệm kép

\( \Leftrightarrow {b^2} – 4ac = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 4ac\)

Khi đó:

\({S_1} =  – \int\limits_{ – \sqrt {\frac{b}{a}} }^0 {\left( {a{x^4} – b{x^2}} \right)dx}  =  – \left. {\left( {\frac{{a{x^5}}}{5} – \frac{{b{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ – \sqrt {\frac{b}{a}} }^0 =  – \frac{{a{b^2}}}{{5{a^2}}}\sqrt {\frac{b}{a}}  + \frac{{{b^2}}}{{3a}}\sqrt {\frac{b}{a}}  = \frac{{8c}}{{15}}\sqrt {\frac{b}{a}} \)

\({S_2} = \int\limits_{ – \sqrt {\frac{b}{{2a}}} }^{\sqrt {\frac{b}{{2a}}} } {\left( {a{x^4} – b{x^2} + c} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{a{x^5}}}{5} – \frac{{b{x^3}}}{3} + cx} \right)} \right|_{ – \sqrt {\frac{b}{{2a}}} }^{\sqrt {\frac{b}{{2a}}} } = \frac{{2a{b^2}}}{{20{a^2}}}\sqrt {\frac{b}{{2a}}}  – \frac{{2{b^2}}}{{6a}}\sqrt {\frac{b}{{2a}}}  + 2c\sqrt {\frac{b}{{2a}}}  = \frac{{16c}}{{15}}\sqrt {\frac{b}{{2a}}} \)

Vậy tỉ số:\(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{8c}}{{15}}\sqrt {\frac{b}{a}} :\frac{{16c}}{{15\sqrt 2 }}\sqrt {\frac{b}{a}}  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).