Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc bốn có đồ thị \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Biết hàm số đạt cực trị tại ba điểm \({x_1},{x_2},{x_3}\) như hình vẽ thỏa mãn \({x_3} = {x_2} + 1\) và \(f\left( {{x_2}} \right) = 4\), đồ thị nhận đường thẳng \(x = {x_2}\) làm trục đối xứng. Gọi \({S_1},{S_2}\) là diện tích của hình phẳng được gạch như trong hình. Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng
A. \(1\).
B. \(\frac{1}{2}\).
C. \(\frac{3}{7}\).
D. \(\frac{7}{8}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tịnh tiến ĐTHS \(y = f\left( x \right)\) theo vectơ \(\overrightarrow v \left( { – {x_2};0} \right)\),ta thu được ĐTHS \(y = g\left( x \right)\) là hàm chẵn đối xứng qua \(Oy\).
Ta thấy \({S_1}\) và \({S_2}\) trở thành \({S_1}^\prime \) và \({S_2}^\prime \) tương ứng không thay đổi giá trị.
Ta thấy \(y = g\left( x \right)\) là hàm chẵn \( \Rightarrow y = g\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + 4\)\(\left( {a > 0} \right)\) có ba điểm cực trị \(x = – 1\), \(x = 0\) và \(x = 1\).
Ta có \(g’\left( x \right) = 4a{x^3} + 2bx\) có ba nghiệm nghiệm \(x = 0\), \(x = – 1\) và \(x = 1\).
\( \Rightarrow g’\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 4a + 2b = 0 \Leftrightarrow b = – 2a\). Do đó \(g\left( x \right) = a{x^4} – 2a{x^2} + 4\).
Tại \(x = 1\) thì \(g\left( 1 \right) = – a + 4\). Khi đó
\({S_2}^\prime = \int\limits_0^1 {\left[ {g\left( x \right) – g\left( 1 \right)} \right]dx = \int\limits_0^1 {\left[ {a{x^4} – 2a{x^2} + 4 – \left( { – a + 4} \right)} \right]dx = \left. {\left( {\frac{{a{x^5}}}{5} – \frac{2}{3}a{x^3} + ax} \right)} \right|_0^1 = \frac{a}{5} – \frac{{2a}}{3} + a} = \frac{{8a}}{{15}}} \)
\({S_1}^\prime = \int\limits_0^1 {\left[ {4 – g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_0^1 {\left[ {4 – \left( {a{x^4} – 2a{x^2} + 4} \right)} \right]dx} = \int\limits_0^1 {\left( { – a{x^4} + 2a{x^2}} \right)} dx = \left. {\left( { – \frac{{a{x^5}}}{5} + \frac{2}{3}a{x^3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{7a}}{{15}}\).
Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{{S_1}^\prime }}{{{S_2}^\prime }} = \frac{7}{8}\).
Để lại phản hồi