Cho hàm số bậc ba \(y = f(x)\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Biết hàm số \(f(x)\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_2} = {x_1} + 4\) và \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) = 2k\). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) là diện tích của haihình phẳng được cho trong hình dưới

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc ba \(y = f(x)\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Biết hàm số \(f(x)\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_2} = {x_1} + 4\) và \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) = 2k\). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) là diện tích của haihình phẳng được cho trong hình dưới. 

Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng:

A. \(\frac{5}{8}\). 

B. \(\frac{8}{5}\). 

C. \(\frac{5}{3}\). 

D. \(\frac{3}{5}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Vì \({x_1};\,{x_2}\) là các điểm cực trị, \(I\) thuộc đồ thị và \({y_I} = k = \frac{{f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right)}}{2} \Rightarrow I\) là điểm

uốn của đồ thị.

Tịnh tiến đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) theo véc tơ \(\overrightarrow {IO} \), ta được đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) Dễ thấy hàm số \(y = g\left( x \right)\) là hàm số lẻ nên ta có ngay \(b = d = 0\) và có hai điểm cực trị là \({x_1} =  – 2,\,{x_2} = 2\). Khi đó \({x_1} =  – 2,\,{x_2} = 2\) cũng là hai nghiệm của phương trình \(3a{x^2} + c = 0\)\( \Rightarrow c =  – 12a \Rightarrow g\left( x \right) = a\left( {{x^3} – 12x} \right)\) với \(a > 0\).

Ta có diện tích hình chữ nhật \(AHOK\)là \(S = {S_1} + {S_2} = \left| { – 2.g\left( { – 2} \right)} \right| = 32a\).

Ta có \({S_1} = \int\limits_{ – 2}^0 {g\left( x \right)} dx = \int\limits_{ – 2}^0 {a\left( {{x^3} – 12x} \right)} dx = 20a\). Suy ra \({S_2} = 32a – 20a = 12a\).

Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{20a}}{{12a}} = \frac{5}{3}\).