Cho hàm số bậc ba \(y = f(x)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số \(f(x)\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_2} = {x_1} + 4\) và \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) = 0\). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc ba \(y = f(x)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số \(f(x)\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_2} = {x_1} + 4\) và \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) = 0\). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng

A. \(\frac{3}{4}\). 

B. \(\frac{5}{8}\). 

C. \(\frac{3}{8}\). 

D. \(\frac{3}{5}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT.

Kết quả bài toán không đổi nếu ta tịnh tiến đồ thị sang phải cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ O. Gọi \(g\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) là hàm số, khi đó ta dễ thấy \(g\left( x \right)\)lẻ nên \(b = d = 0\)và \(g\left( x \right) = a{x^3} + cx\) có 2 điểm cực trị tương ứng là \( – 2;\;2\)cũng là nghiệm của \(3a{x^2} + c = 0\) 

\(g’\left( x \right) = k\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right) = k\left( {{x^2} – 4} \right) \Rightarrow g(x) = k\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – 4x} \right)\)với \(k < 0\) 

Xét diện tíchhình chữ nhật \({S_1} + {S_2} = \left| { – 2.g\left( { – 2} \right)} \right| = \frac{{32}}{3}k\) 

\({S_2} = \int\limits_{ – 2}^0 {g(x)dx = k} \int\limits_{ – 2}^0 {\left| {\frac{{{x^3}}}{3} – 4x} \right|dx = \frac{{20}}{3}k} \) 

Nên \({S_1} = \frac{{32}}{3}k – \frac{{20}}{3}k = 4k\)và \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{3}{5}\)