Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\)và hàm bậc hai \(y = g\left( x \right)\)có đồ thị là hai đường cong như hình vẽ bên. Biết hàm số \(f\left( x \right)\)đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn:\({x_1} + {x_2} = 1\) và \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) = 0\). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\)là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) thuộc khoảng nào sau
A. \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\)
B. \(\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{4}} \right)\)
C. \(\left( {\frac{7}{4};2} \right)\)
D. \(\left( {2;\frac{5}{2}} \right)\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tỉ số không thay đổi với các hàm số thỏa mãn
Chọn \({x_1} = – 1;{x_2} = 2\)\( \Rightarrow f’\left( x \right) = a\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) = a({x^2} – x – 2)\)\( \Rightarrow g\left( x \right) = k\left( {{x^2} – x – 2} \right)\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {a\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)dx} = a\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} – 2x} \right) + C\)
Chọn \(a = 2\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{2}{3}{x^3} – {x^2} – 4x + C\)
Mặt khác: \(f\left( { – 1} \right) + f\left( 2 \right) = – \frac{{13}}{3} + 2C = 0 \Rightarrow C = \frac{{13}}{6}\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{2}{3}{x^3} – {x^2} – 4x + \frac{{13}}{6}\)
Mà tọa độ \(\left( {0;\frac{{13}}{6}} \right)\) là giao điểm của hai hàm số. \( \Leftrightarrow – 2k = \frac{{13}}{6} \Leftrightarrow k = – \frac{{13}}{{12}}\)
\( \Rightarrow g\left( x \right) = \frac{{ – 13}}{{12}}\left( {{x^2} – x – 2} \right)\)
Gọi \(I\left( {\frac{1}{2};0} \right)\)là giao điểm của \(f\left( x \right)\) với trục \({\rm{Ox}}\,{\rm{(}}{{\rm{x}}_1}{\rm{ < }}\frac{1}{2}{\rm{ < }}{{\rm{x}}_2}{\rm{)}}\)\( \Rightarrow \)\(g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{39}}{{16}}\)
\({S_1} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left[ {\frac{{39}}{{16}} + \frac{{13}}{{12}}\left( {{x^2} – x – 2} \right)} \right]} dx = \frac{{39}}{{32}}\)
\({S_2} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left[ {\frac{{ – 13}}{{12}}\left( {{x^2} – x – 2} \right) – \left( {\frac{2}{3}{x^3} – {x^2} – 4x + \frac{{13}}{6}} \right)} \right]} = \frac{{179}}{{288}}\)
\(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{351}}{{179}} \approx 1,96\)
Trả lời