Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1};\,\,{x_2}\)thỏa mãn \({x_2} = {x_1} + 2\). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\)là diện tích của hai hình phẳng được gạch sọc trong hình bên. Tỉ số \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\) bằng

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1};\,\,{x_2}\)thỏa mãn \({x_2} = {x_1} + 2\). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\)là diện tích của hai hình phẳng được gạch sọc trong hình bên. Tỉ số \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\) bằng

A. \(\frac{{13}}{3}\). 

B. \(\frac{{13}}{4}\). 

C. \(\frac{{17}}{5}\). 

D. \(\frac{{17}}{4}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Kết quả bài toán không thay đổi nếu ta tịnh tiến đồ thị sang trái sao cho điểm cực trị \({x_1} = 0\). 

Khi đó ta có hàm số mới là \(g\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \( \Rightarrow g’\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\). Dựa vào đồ thị hàm số mới ta thấy hàm số có hai điểm cực trị là \(x = 0;x = 2\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}g’\left( 0 \right) = 0\\g’\left( 2 \right) = 0\\g\left( 2 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\12a + 4b = 0\\8a + 4b + d = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  – 3a\\d = 4a\end{array} \right.\) 

Vậy ta có \(g\left( x \right) = a{x^3} – 3a{x^2} + 4a\) 

\({S_1} + {S_2} = \left| {1.g\left( 0 \right)} \right| = 4a\) 

\({S_2} = a\int\limits_0^1 {\left| {{x^3} – 3{x^2} + 4} \right|}  = \frac{{13}}{4}a\) \( \Rightarrow {S_1} = 4a – \frac{{13}}{4}a = \frac{3}{4}a\) 

Vậy \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = \frac{{13}}{3}\).