Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\) thoả mãn \({x_2} = {x_1} + 6\) và \(f\left( {{x_1}} \right) =  – f({x_2}).\) Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được tô màu trong hình. Tỉ số \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\) bằng bao nhiêu? 

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\) thoả mãn \({x_2} = {x_1} + 6\) và \(f\left( {{x_1}} \right) =  – f({x_2}).\) Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được tô màu trong hình. Tỉ số \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\) bằng bao nhiêu? 

A. \(\frac{3}{5}\). 

B. \(\frac{5}{3}\). 

C. \(1\). 

D. \(2\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(g\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) là hàm số có được khisau khi tịnh tiến đồ thị \(y = f\left( x \right)\)sang trái sao cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ \(O.\) Ta thấy đồ thị\(g\left( x \right)\) đối xứng qua \(O\) nên \(g\left( x \right)\)là hàm số lẻ. Suy ra \(b = d = 0\) vì vậy \(g\left( x \right) = a{x^3} + cx\) và nhận hai điểm cực trị tương ứng là \( – 3,3.\) Suy ra \(g\left( x \right) = k\left( {{x^3} – 27x} \right)\) với \(k < 0\).

\(g\left( { – 3} \right) = 54k\).

\({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| {k\left( {{x^3} – 27x} \right)} \right|dx}  =  – k\int\limits_0^3 {\left| {{x^3} – 27x} \right|dx}  = \frac{{ – 405}}{4}k.\)

\({S_2} = \int\limits_{ – 3}^0 {\left| {k\left( {{x^3} – 27x} \right) – 54k} \right|dx}  =  – k\int\limits_{ – 3}^0 {\left| {{x^3} – 27x – 54} \right|dx}  = \frac{{ – 243}}{4}k.\)

\(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = \frac{3}{5}.\)