Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc ba \(f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_2} = {x_1} + 2\) và \(f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) = 1\). Gọi \({S_1},{S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình vẽ bên. Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\).
A. \(\frac{5}{4}\).
B. \(\frac{3}{5}\).
C. \(\frac{3}{8}\).
D. \(\frac{5}{8}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Kết quả của bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị sang trái và xuống dưới 1 đơn vị sao cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ \(O\).
Gọi \(g(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) là hàm số khi đó thì \(g(x)\) lẻ nên ta có \(b = d = 0\) và \(g(x) = a{x^3} + cx\) có hai điểm cực trị là 1 và \( – 1\). Suy ra \(g'(x) = 3a{x^2} + c\) có \({x^2} = – \frac{c}{{3a}} = 1\) \( \Rightarrow c = – 3a\).
Do đó \(g(x) = a{x^3} – 3ax\). Do tính đối xứng của đồ thị hàm số nên \({S_3} = {S_1}\). Ta có
\({S_1} + {S_2} = {S_2} + {S_3} = \left| {( – 1).g( – 1)} \right| = 2a\).
Lại có \({S_2} = a\int\limits_{ – 1}^0 {\left| {{x^3} – 3x} \right|} dx = \frac{{5a}}{4}\). Suy ra \({S_1} = 2a – \frac{{5a}}{4} = \frac{{3a}}{4}\). Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{3}{5}\).
Trả lời