Cho hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g'(x)\), \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 2\) và \(g(0) = 2\).Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\), biết rằng \(\int\limits_2^3 {\left[ {g(x) – f(x)} \right]dx}  = \frac{5}{{12}}\).

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g'(x)\), \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 2\) và \(g(0) = 2\).Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\), biết rằng \(\int\limits_2^3 {\left[ {g(x) – f(x)} \right]dx}  = \frac{5}{{12}}\).

A. \(S = \frac{{37}}{6}\). 

B. \(S = \frac{{162}}{{35}}\). 

C. \(S = \frac{{37}}{{12}}\). 

D. \(S = \frac{9}{4}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Dựa vào đồ thị hàm số \(g'(x)\) ta có \(g'(x) = 2x – 4\).

Khi đó \(g(x) = {x^2} – 4x + C\). Do \(g(0) = 2\) nên \(g(x) = {x^2} – 4x + 2\).

Khi đó, ta có đồ thị như hình bên.

Từ giao điểm của \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) ta có

\(\begin{array}{l}f(x) – g(x) = kx(x – 2)(x – 3)\\ \Leftrightarrow g(x) – f(x) =  – kx(x – 2)(x – 3)\end{array}\).

Ta có \(\int\limits_2^3 {\left[ {g\left( x \right) – f\left( x \right)} \right]dx}  = \frac{5}{{12}} \Leftrightarrow  – k\int\limits_2^3 {x\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)dx}  = \frac{5}{{12}} \Leftrightarrow k = 1\).

Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) là

\(S = \int\limits_0^3 {\left| {x\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)} \right|} dx = \frac{{37}}{{12}}\).