Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g'(x)\), \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 2\) và \(g(0) = 2\).Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\), biết rằng \(\int\limits_2^3 {\left[ {g(x) – f(x)} \right]dx} = \frac{5}{{12}}\).
A. \(S = \frac{{37}}{6}\).
B. \(S = \frac{{162}}{{35}}\).
C. \(S = \frac{{37}}{{12}}\).
D. \(S = \frac{9}{4}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Dựa vào đồ thị hàm số \(g'(x)\) ta có \(g'(x) = 2x – 4\).
Khi đó \(g(x) = {x^2} – 4x + C\). Do \(g(0) = 2\) nên \(g(x) = {x^2} – 4x + 2\).
Khi đó, ta có đồ thị như hình bên.
Từ giao điểm của \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) ta có
\(\begin{array}{l}f(x) – g(x) = kx(x – 2)(x – 3)\\ \Leftrightarrow g(x) – f(x) = – kx(x – 2)(x – 3)\end{array}\).
Ta có \(\int\limits_2^3 {\left[ {g\left( x \right) – f\left( x \right)} \right]dx} = \frac{5}{{12}} \Leftrightarrow – k\int\limits_2^3 {x\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)dx} = \frac{5}{{12}} \Leftrightarrow k = 1\).
Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) là
\(S = \int\limits_0^3 {\left| {x\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)} \right|} dx = \frac{{37}}{{12}}\).
Trả lời