Cho hai hàm số \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + \frac{3}{2}\) và \(g\left( x \right) = m{x^2} + nx – \frac{3}{2}\). Biết rằng đồ thị của các hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( – 2;1;3\). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho có diện tích bằng

Câu hỏi:
Cho hai hàm số \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + \frac{3}{2}\) và \(g\left( x \right) = m{x^2} + nx – \frac{3}{2}\). Biết rằng đồ thị của các hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( – 2;1;3\). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho có diện tích bằng

A. \(\frac{{253}}{{48}}\).

B. \(\frac{{235}}{{48}}\).

C. \(\frac{{253}}{{24}}\).

D. \(\frac{{125}}{{24}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là

\(a{x^3} + b{x^2} + cx + \frac{3}{2} = m{x^2} + nx – \frac{3}{2}\) \( \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b – m} \right){x^2} + \left( {c – n} \right)x + 3 = 0\,\,\left( 1 \right)\,\,\).

Ta có phương trình \(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm là \(x = – 2;\) \(x = 1;\) \(x = 3\).

Với \(x = – 2\) thay vàota có \( – 8a + 4\left( {b – m} \right) – 2\left( {c – n} \right) + 3 = 0\)

Với \(x = 1\) thay vàota có \(a + \left( {b – m} \right) + \left( {c – n} \right) + 3 = 0\)

Với \(x = 3\) thay vàota có \(27a + 9\left( {b – m} \right) + 3\left( {c – n} \right) + 3 = 0\)

Do đó ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 8a + 4\left( {b – m} \right) – 2\left( {c – n} \right) = – 3}\\{a + \left( {b – m} \right) + \left( {c – n} \right){\rm{ }} = – 3}\\{27a + 9\left( {b – m} \right) + 3\left( {c – n} \right) = – 3}\end{array}} \right.\). \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{2}}\\{b – m = – 1}\\{c – n = – \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\).

Suy ra \(f(x) – g(x) = \frac{1}{2}{x^3} – {x^2} – \frac{5}{2}x + 3\).

Vậy \(S = \int\limits_{ – 2}^3 {\left| {f(x) – g(x)} \right|} {\rm{ }}dx = \) \(\int\limits_{ – 2}^3 {\left| {\frac{1}{2}{x^3} – {x^2} – \frac{5}{2}x + 3} \right|{\rm{ }}} dx\). \( = \int\limits_{ – 2}^1 {\left| {\frac{1}{2}{x^3} – {x^2} – \frac{5}{2}x + 3} \right|{\rm{ }}} dx + \int\limits_1^3 {\left| {\frac{1}{2}{x^3} – {x^2} – \frac{5}{2}x + 3} \right|{\rm{ }}} dx\) \( = \frac{{63}}{8} + \frac{8}{3} = \frac{{253}}{{24}}\).

=======