Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^2} + bx + 1\) và \(g\left( x \right) = c{x^2} + dx + 3\) \(\left( {a,\;b,\;c,\;d \in \mathbb{R}} \right)\). Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \( – 2\); 1. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Câu hỏi:
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^2} + bx + 1\) và \(g\left( x \right) = c{x^2} + dx + 3\) \(\left( {a,\;b,\;c,\;d \in \mathbb{R}} \right)\). Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \( – 2\); 1. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

A. \(\frac{{45}}{5}\).

B. \(2\).

C. \(\frac{{99}}{{10}}\).

D. \(\frac{3}{2}\).

GY:

Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f( – 2) = g\left( { – 2} \right)\\f\left( 1 \right) = g\left( 1 \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 + 4a – 2b + 1 = 4c – 2d + 3\\1 + a + b + 1 = c + d + 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {a – c} \right) – 2\left( {b – d} \right) = – 14\\\left( {a – c} \right) + \left( {b – d} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a – c = – 2\\b – d = 3\end{array} \right.\)

Ta có \(f\left( x \right) – g\left( x \right) = {x^4} + \left( {a – c} \right){x^2} + \left( {b – d} \right)x – 2\)

Diện tích hình phẳng cần tính là

\(S = \left| {\int\limits_{ – 2}^1 {\left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\int\limits_{ – 2}^1 {\left( {{x^4} + \left( {a – c} \right){x^2} + \left( {b – d} \right)x – 2} \right){\rm{d}}x} } \right|\)

\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} + \left( {a – c} \right)\frac{{{x^3}}}{3} + \left( {b – d} \right)\frac{{{x^2}}}{2} – 2x} \right)} \right|_{ – 2}^1} \right|\)

Thay \(\left\{ \begin{array}{l}a – c = – 2\\b – d = 3\end{array} \right.\) ta có\(S = \left| {\frac{{{1^5} – {{\left( { – 2} \right)}^5}}}{5} – 2.\frac{{{1^3} – {{\left( { – 2} \right)}^3}}}{3} + 3.\frac{{{1^2} – {{\left( { – 2} \right)}^2}}}{2} – 2\left( {1 – \left( { – 2} \right)} \right)} \right| = \frac{{99}}{{10}}\).

=======