Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx – 1\) và \(g\left( x \right) = d{x^2} + ex + \frac{1}{2}\)\(\left( {a,b,c,d,e \in \mathbb{R}} \right)\). Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt \( – 3; – 1;2\) (tham khảo hình vẽ).

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx – 1\) và \(g\left( x \right) = d{x^2} + ex + \frac{1}{2}\)\(\left( {a,b,c,d,e \in \mathbb{R}} \right)\). Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt \( – 3; – 1;2\) (tham khảo hình vẽ).

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

A. \(\frac{{253}}{{12}}\). 

B. \(\frac{{125}}{{12}}\). 

C. \(\frac{{253}}{{48}}\). 

D. \(\frac{{125}}{{48}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT:

Theo giả thiết hai đồ thị hàm số cắt nhau tại các điểm \( – 3;1;2\) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ – 27a + 9b – 3c – 1 = 9d – 3e + \frac{1}{2}}\\{ – a + b – c – 1 = d – e + \frac{1}{2}}\end{array}}\\{8a + 4b + 2c – 1 = 4d + 2e + \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ – 27a + 9\left( {b – d} \right) – 3\left( {c – e} \right) – \frac{3}{2} = 0}\\{ – a + \left( {b – d} \right) – \left( {c – e} \right) – \frac{3}{2} = 0}\end{array}}\\{8a + 4\left( {b – d} \right) + 2\left( {c – e} \right) – \frac{3}{2} = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{4}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{b – d = \frac{1}{2}}\\{c – e =  – \frac{5}{4}}\end{array}}\end{array}} \right.\)

Vậy diện tích cần tính là:

\(S = \left| {\mathop \smallint \nolimits_{ – 3}^{ – 1} \left[ {a{x^3} + \left( {b – d} \right){x^2} + \left( {c – e} \right)x – \frac{3}{2}} \right]dx} \right| + \left| {\mathop \smallint \nolimits_{ – 1}^2 \left[ {a{x^3} + \left( {b – d} \right){x^2} + \left( {c – e} \right)x – \frac{3}{2}} \right]dx} \right|\)

\( = \left| {\frac{1}{4}.\left( { – 20} \right) + \frac{1}{2}.\frac{{26}}{3} – \frac{5}{4}\left( { – 4} \right) – \frac{3}{2}.2} \right| + \left| {\frac{1}{4}.\frac{{15}}{4} + \frac{1}{2}.3 – \frac{5}{4}.\frac{3}{2} – \frac{3}{2}.3} \right| = \frac{4}{3} + \frac{{63}}{{16}} = \frac{{253}}{{48}}\)

Cách 2.

Ta có: \(f\left( x \right) – g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow a\left( {x + 3} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\left( {x – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} – 5x – 6 = 0\)

Đồng nhất hệ số với phương trình \(a{x^3} + \left( {b – d} \right){x^2} + \left( {c – e} \right)x – \frac{3}{2} = 0\) ta có: \(\frac{a}{1} = \frac{{ – \frac{3}{2}}}{{ – 6}} \Rightarrow a = \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) – g\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {{x^3} + 2{x^2} – 5x – 6} \right)\)

Do đó \(S = \mathop \smallint \nolimits_{ – 3}^2 \left| {\frac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \right|dx = \frac{{253}}{{48}}\).