Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho đường thẳng \(y = x\) va parabol \(y = \frac{1}{2}{x^2} + a\) (\(a\) là tham số thực dương). Gọi \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi \({S_1} = {S_2}\) thì \(a\) thuộc khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( { – \frac{1}{3};\frac{2}{5}} \right)\).
B. \(\left( {0;\frac{1}{3}} \right)\).
C. \(\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{5}} \right)\).
D. \(\left( {\frac{2}{5};\frac{3}{7}} \right)\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x\) và \(y = \frac{1}{2}{x^2} + a\):
\(x = \frac{1}{2}{x^2} + a \Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^2} – x + a = 0\) (có \(\Delta = 1 – 2a\))
Theo hình, ta có: \(0 < a < \frac{1}{2}\).
Gọi \({x_1},{x_2}\left( {0 < {x_1} < {x_2}} \right)\) là hai hoành độ giao điểm: \({x_1} = 1 – \sqrt {1 – 2a} ,{x_2} = 1 + \sqrt {1 – 2a} \left( 1 \right)\).
Khi đó: \({S_1} = {S_2} \Leftrightarrow \mathop \smallint \nolimits_0^{{x_1}} \left( {\frac{1}{2}{x^2} + a – x} \right)dx = \mathop \smallint \nolimits_{{x_1}}^{{x_2}} \left( {x – \frac{1}{2}{x^2} – a} \right)dx.\)\( \Leftrightarrow \left. {\left( {\frac{1}{6}{x^3} + ax – \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} – \frac{1}{6}{x^3} – ax} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}.\)\( \Leftrightarrow \frac{{x_2^2}}{2} – \frac{{x_2^3}}{6} – a{x_2} = 0 \Leftrightarrow 3{x_2} – x_2^2 – 6a = 0.\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt {1 – 2a} = 4a – 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ge \frac{1}{4}}\\{16{a^2} – 6a = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = \frac{3}{8}\).
Trả lời