Cho đường thẳng \(y = \frac{3}{4}x\) và parbol \(y = \frac{1}{2}{x^2} + a\) (\(a\) là tham số thực dương). Gọi \({S_1}\), \({S_2}\) lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên.

DẠNG TOÁN 48: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho đường thẳng \(y = \frac{3}{4}x\) và parbol \(y = \frac{1}{2}{x^2} + a\) (\(a\) là tham số thực dương). Gọi \({S_1}\), \({S_2}\) lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên.

Khi \({S_1} = {S_2}\) thì \(a\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {\frac{1}{4};\frac{9}{{32}}} \right)\). 

B. \(\left( {\frac{3}{{16}};\frac{7}{{32}}} \right)\). 

C. \(\left( {0;\frac{3}{{16}}} \right)\). 

D. \(\left( {\frac{7}{{32}};\frac{1}{4}} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{3}{4}x = \frac{1}{2}{x^2} + a\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} – 3x + 4a = 0\) \(\left( * \right)\)

Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại hai điềm dương phân biệt. Do đó phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt.

\(\left( * \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta  = 9 – 32a > 0}\\{S = \frac{3}{2} > 0}\\{P = 2a > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 0 < a < \frac{9}{{32}}\).

Khi đó (*) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1} = \frac{{3 – \sqrt {9 – 32a} }}{4}\), \({x_2} = \frac{{3 + \sqrt {9 – 32a} }}{4}\), \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\)

\({S_1} = {S_2} \Leftrightarrow \mathop \smallint \nolimits_0^{{x_1}} \left( {\frac{1}{2}{x^2} + a – \frac{3}{4}x} \right)dx = \mathop \smallint \nolimits_{{x_1}}^{{x_2}} \left( {\frac{3}{4}x – \frac{1}{2}{x^2} – a} \right)dx\)

\( \Leftrightarrow \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{6} + ax – \frac{{3{x^2}}}{8}} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \left. {\left( {\frac{{3{x^2}}}{8} – \frac{{{x^3}}}{6} – ax} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{x_1}^3}}{6} + a{x_1} – \frac{{3{x_1}^2}}{8} = \frac{{3{x_2}^2}}{8} – \frac{{{x_2}^3}}{6} – a{x_2} – \left( {\frac{{3{x_1}^2}}{8} – \frac{{{x_1}^3}}{6} – a{x_1}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{3{x_2}^2}}{8} – \frac{{{x_2}^3}}{6} – a{x_2} = 0\)\( \Leftrightarrow  – 4{x_2}^2 + 9{x_2} – 24a = 0\)

\( \Leftrightarrow  – 4{\left( {\frac{{3 + \sqrt {9 – 32a} }}{4}} \right)^2} + 9.\frac{{3 + \sqrt {9 – 32a} }}{4} – 24a = 0\)\( \Leftrightarrow 3\sqrt {9 – 32a}  = 64a – 9\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{64a – 9 > 0}\\{9\left( {9 – 32a} \right) = {{\left( {64a – 9} \right)}^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ge \frac{9}{{64}}}\\{4096{a^2} – 864a = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ge \frac{9}{{64}}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{a = \frac{{27}}{{128}}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = \frac{{27}}{{128}}\).