CÂU HỎI: \(\text { Biết } \int(x+3) \cdot e^{-2 x} \mathrm{~d} x=-\frac{1}{m} e^{-2 x}(2 x+n)+C, \text { với } m, n \in \mathbb{Q} \text { . Khi đó tổng } S=m^{2}+n^{2}\) có giá trị bằng

\(\begin{array}{l}
\text { Đặt }\left\{\begin{array} { l }
{ u = x + 3 } \\
{ \mathrm { d } v = e ^ { – 2 x } \mathrm { d } x }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
\mathrm{d} u=\mathrm{d} x \\
v=-\frac{1}{2} e^{-2 x}
\end{array}\right.\right. \\
\text { Khi đó } \int(x+3) \cdot e^{-2 x} \mathrm{~d} x=-\frac{1}{2} e^{-2 x}(x+3)+\frac{1}{2} \int e^{-2 x} \mathrm{~d} x=-\frac{1}{2} \cdot e^{-2 x}(x+3)-\frac{1}{4} e^{-2 x}+C \\
=-\frac{1}{4} e^{-2 x} \cdot(2 x+6+1)+C=-\frac{1}{4} e^{-2 x}(2 x+7)+C \Rightarrow m=4 ; n=7 \\
m^{2}+n^{2}=65
\end{array}\)