CÂU HỎI: Cho \(F(x)=\frac{1}{2 x^{2}}\) là mooptj nguyên hàm cảu hàm số \(\frac{f(x)}{x}\). Tính \(\int_{1}^{e} f^{\prime}(x) \ln x d x\).

Do \(F(x)=\frac{1}{2 x^{2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{f(x)}{x}\)

\( \text { nên } \frac{f(x)}{x}=\left(\frac{1}{2 x^{2}}\right)^{\prime} \Leftrightarrow f(x)=-\frac{1}{x^{2}}\)

\(\text { Tính } I=\int_{1}^{e} f^{\prime}(x) \ln x \mathrm{d} x .\\
\text { Đăt }\left\{\begin{array}{l}
\ln x=u \\
f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\mathrm{d} v
\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{x} \mathrm{d} x=\mathrm{d} u \\
f(x)=v
\end{array}\right.\right.\)

\(\text { Khi đó } I=\left.f(x) \cdot \ln (x)\right|_{1} ^{e}-\int_{1}^{e} \frac{f^{\prime}(x)}{x} \mathrm{d} x\\
=-\left.\frac{1}{x^{2}} \cdot \ln (x)\right|_{1} ^{e}-\left.\frac{1}{2 x^{2}}\right|_{1} ^{e}=\frac{\mathrm{e}^{2}-3}{2 \mathrm{e}^{2}}\)