Cắt hình nón \(\left( N \right)\) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng \(60^\circ \), ta được thiết diện là tam giác vuông cân có cạnh huyền \(2a\). Diện tích xung quanh của \(\left( N \right)\) bằng

Câu hỏi: Cắt hình nón \(\left( N \right)\) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng \(60^\circ \), ta được thiết diện là tam giác vuông cân có cạnh huyền \(2a\). Diện tích xung quanh của \(\left( N \right)\) bằng

A. \(\frac{{\sqrt {13} \pi {a^2}}}{2}\).

B. \(\frac{{\sqrt {10} \pi {a^2}}}{2}\).

C. \(\frac{{\sqrt {33} \pi {a^2}}}{2}\).

D. \(\frac{{\sqrt 7 \pi {a^2}}}{2}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét hình nón \(\left( N \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) đi qua đỉnh cắt \(\left( O \right)\) tại \(A\), \(B\).

Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) có \(AB = 2a\) nên \(SA = SB = \sqrt 2 a\) và \(SH = \frac{{AB}}{2} = a\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {OAB} \right) = AB\\SH \bot AB\\OH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {OAB} \right)} \right) = \left( {SH,OH} \right) = \widehat {SHO} = 60^\circ \).

\(\sin \widehat {SHO} = \frac{{SO}}{{SH}} \Rightarrow SO = SH.\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\).

\(OB = \sqrt {S{B^2} – S{O^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2} – {{\left( {\frac{{\sqrt 3 a}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 5 a}}{2}\).

Vậy \({S_{xq}} = \pi .OB.SB = \pi .\frac{{\sqrt 5 a}}{2}.\sqrt 2 a = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\pi {a^2}\).

=======