Biết hàm số \(F(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 0\\{(2x + 1)^3}\,\,{\rm{khi }}x < 0\end{array} \right..\) Biết \(F(4) + F( – 1) = 8.\) Khi đó \(F( – 2) + 2F(12)\) bằng

Câu hỏi:
Biết hàm số \(F(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 0\\{(2x + 1)^3}\,\,{\rm{khi }}x < 0\end{array} \right..\) Biết \(F(4) + F( – 1) = 8.\) Khi đó \(F( – 2) + 2F(12)\) bằng

A. \(27.\)

B. \(\frac{{281}}{{16}} \cdot \)

C. \(\frac{{121}}{8} \cdot \)

D. \(20.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(F(x) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 1} \,\,\, + {C_1}\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 0\\\frac{{{{(2x + 1)}^4}}}{8}\,\, + {C_2}\,\,\,\,{\rm{khi }}x < 0\end{array} \right..\)

Do hàm số \(F(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} F\left( x \right) \Leftrightarrow 1 + {C_1} = \frac{1}{8} + {C_2} \Leftrightarrow {C_1} = \frac{{ – 7}}{8} + {C_2}\)

Mà: \(F(4) + F( – 1) = 8 \Leftrightarrow 3 + {C_1} + \frac{1}{8} + {C_2} = 8\)

\( \Leftrightarrow 3 – \frac{7}{8} + {C_2} + \frac{1}{8} + {C_2} = {8_2} \Leftrightarrow {C_2} = \frac{{23}}{8};\,{C_1} = 2\)

Khi đó: \(F( – 2) + 2F(12) = \frac{{81}}{8} + \frac{{23}}{8} + 2.7 = 27\)

=======