[Bayes] Một thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ là $0,5\%$

Một thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ là $0,5\%$. Biết rằng, có một loại xét nghiệm mà nếu mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ thì với xác suất $94\%$ xét nghiệm cho kết quả dương tính; nếu không bị bệnh hiểm nghèo $Y$ thì với xác suất $97\%$ xét nghiệm cho kết quả âm tính. Hỏi khi một người xét nghiệm cho kết quả dương tính thì xác suất mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ của người đó là bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải: Xét hai biến cố $A$ : ‘‘Người được chọn ra bị mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ ”,
$B$ : ‘‘Người được chọn ra có xét nghiệm cho kết quả dương tính”
Do tỉ lệ người mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ là $0,5\% = 0,005$ nên trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ của một người là $P\left(A\right) = 0,005$.
Khi đó: $P\left(\overline{A}\right) = 1- P\left(A\right) = 1- 0,005 = 0,995$.
Nếu mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ thì với xác suất $94\%$ xét nghiệm cho kết quả dương tính
Khi đó: $P\left(B|A\right) = 94\% = 0,94$.
Nếu không bị bệnh hiểm nghèo $Y$ thì với xác suất $97\%$ xét nghiệm cho kết quả âm tính
Khi đó: $P\left(\overline{B}|\overline{A}\right) = 97\% = 0,97$
Ta có sơ đồ hình cây như sau

Ta thấy xác suất mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ của một người khi xét nghiệm cho kết quả dương tính là $P\left(A|B\right)$. Áp dụng công thức Bayes, ta có:
$P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+ P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)} = \dfrac{0,005.0,94}{0,005.0,94+ 0,995.0,03}\approx 13,6\%$.
Vậy xác suất mắc bệnh hiểm nghèo $Y$ của một người khi xét nghiệm cho kết quả dương tính là $13,6\%$.

—HẾT—