[Bayes] Một loại xét nghiệm nhanh SARS-CoV-2 cho kết quả dương tính với $75$\% các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tính với $96$\% các ca thực sự không nhiễm virus

Một loại xét nghiệm nhanh SARS-CoV-2 cho kết quả dương tính với $75$\% các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tính với $96$\% các ca thực sự không nhiễm virus. Giả sử tỉ lệ người nhiễm virus SARS-CoV-2 trong một cộng đồng là $2$\%. Một người trong cộng đồng đó làm xét nghiệm và nhận được kết quả dương tính.

*a) Xác suất ca xét nghiệm dương tính thực sự nhiễm virus là $0,75$.

*b) Xác suất ca xét nghiệm dương tính không thực sự nhiễm virus là $0,04$.

c) Xác suất người làm xét nghiệm không nhiễm virus là $0,02$.

d) Xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là $0,1542$.

Lời giải: a) Gọi các biến cố:
$A$:”Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính”.
$B$:”Người làm xét nghiệm nhiễm virus”.
Do xét nghiệm cho kết quả dương tính với $75$\% các ca thực sự nhiễm virus nên $P(A|B)=0,75$.
b) Do xét nghiệm cho kết quả âm tính với $96$\% các ca thực sự không nhiễm virus nên $P(\overline{A}| \overline{B})=0,96$.
Suy ra
$P(A|\overline{B})=1-0,96=0,04.$
c) Do tỉ lệ người nhiễm virus trong cộng đồng là $2$\% nên $P(B)=0,02$ và $P(\overline{B})=0,98$.
d) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là
$P(A)=P(B) P(A|B) +P(\overline{B}) P(A| \overline{B})=0,02 \cdot 0,75+0,98 \cdot 0,04=0,0542.$
(Đúng) Xác suất ca xét nghiệm dương tính thực sự nhiễm virus là $0,75$
(Đúng) Xác suất ca xét nghiệm dương tính không thực sự nhiễm virus là $0,04$
(Sai) Xác suất người làm xét nghiệm không nhiễm virus là $0,02$
(Sai) Xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là $0,1542$