[Bayes] Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả)

Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn có cùng giới tính. Cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất $40{,}5$ là con trai. Thống kê cho thấy $34\%$ cặp sinh đôi đều là trai, $30\%$ cặp sinh đôi đều là gái và $36\%$ cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi.
Gọi $A$ là biến cố ” Cặp sinh đôi thật”, $B$ là biến cố ” Cặp sinh đôi có cùng giới tính”.

*a) $\mathrm{P}(B)=64\%$.

*b) Xác suất có điều kiện $\mathrm{P}(B\mid A)=1$.

*c) Tỷ lệ sinh đôi thật là $28\%$.

*d) Tỷ lệ cặp sinh đôi thật trong số cặp sinh đôi cùng giới tính là $43{,}75\%$.

Lời giải:
(Đúng) $\mathrm{P}(B)=64\%$
(Vì):
Xác suất của biến cố $B$ là
$\mathrm{P}(B)=34\%+30\%=64\%.$
(Đúng) Xác suất có điều kiện $\mathrm{P}(B\mid A)=1$
(Vì):
Xác suất có điều kiện $\mathrm{P}(B\mid A)$ là xác suất của biến cố ” Cặp sinh đôi có cùng giới tính”với điều kiện ” Cặp sinh đôi thật”có xác suất là $100\%$.
(Đúng) Tỷ lệ sinh đôi thật là $28\%$
(Vì):
Ta có xác suất $\mathrm{P}\left( B\mid\overline{A}\right)=\dfrac{1}{2}$.
Theo công thức xác suất toàn phần ta có
$\begin{array}{l} \mathrm{P}(B)=P(A)\cdot \mathrm{P}(B\mid A)+\mathrm{P}(\overline A)\cdot \mathrm{P}(B\mid A)\\ \Leftrightarrow 0{,}64 = \mathrm{P}(A)\cdot 1+\left( 1-\mathrm{P}(A)\right) \cdot \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 0{,}64 = \mathrm{P}(A)-\dfrac{1}{2}\mathrm{P}(A)+\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \mathrm{P}(A)=0{,}28. \end{array}$
Tỷ lệ sinh đôi thật là $28\%$.
(Đúng) Tỷ lệ cặp sinh đôi thật trong số cặp sinh đôi cùng giới tính là $43{,}75\%$
(Vì):
Xác suất để chọn được cặp sinh đôi thật biết rằng cặp sinh đôi đó cùng giới tính là $\mathrm{P}(A\mid B)$.
Theo công thức nhân xác suất, ta có $\mathrm{P}(AB) = \mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B \mid A)$.
Ta có, $\mathrm{P}(A)= 0{,}28$ và $\mathrm{P}(B\mid A)=1$.
Do đó, $\mathrm{P}(AB)= \mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B\mid A)=0{,}28$.
Lại có $\mathrm{P}(B)= 0{,}34 + 0{,}3 =0{,}64$.
Như vậy, $\mathrm{P}(A \mid B) = \dfrac{\mathrm{P}(AB)}{\mathrm{P}(B)}=\dfrac{0{,}28}{0{,}64}=0{,}4375$.