Tại một trường THPT, học sinh khối 12 tham gia ôn thi đại học tại 3 trung tâm X, Y, Z với tỉ lệ tương ứng là 40%, 35% và 25%. Tỉ lệ đỗ đại học của học sinh học tại các trung tâm này lần lượt là 90%, 80% và 70%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh và biết rằng học sinh này đã đỗ đại học. Tính xác suất học sinh đó đã ôn thi tại trung tâm X.

Dạng toán và Phương pháp giải

Dạng toán: Bài toán tính xác suất của một nguyên nhân (giả thiết) khi biết trước một kết quả (biến cố) đã xảy ra. Đây là ứng dụng điển hình của Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Gọi $A$ là biến cố kết quả đã xảy ra (ví dụ: “Học sinh đỗ đại học”).
• Bước 2: Gọi $B_1, B_2, \dots, B_n$ là các biến cố nguyên nhân (hệ đầy đủ các biến cố). Xác định các xác suất $P(B_i)$ và $P(A|B_i)$.
• Bước 3: Tính xác suất toàn phần: $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A|B_i)$.
• Bước 4: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất nguyên nhân $B_k$ khi biết $A$ đã xảy ra: $P(B_k|A) = \frac{P(B_k)P(A|B_k)}{P(A)}$.

Đề bài

Tại một trường THPT, học sinh khối 12 tham gia ôn thi đại học tại 3 trung tâm X, Y, Z với tỉ lệ tương ứng là 40%, 35% và 25%. Tỉ lệ đỗ đại học của học sinh học tại các trung tâm này lần lượt là 90%, 80% và 70%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh và biết rằng học sinh này đã đỗ đại học. Tính xác suất học sinh đó đã ôn thi tại trung tâm X.

Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là biến cố: “Học sinh được chọn đỗ đại học”.

Gọi $B_1, B_2, B_3$ lần lượt là các biến cố: “Học sinh được chọn ôn thi tại trung tâm X, Y, Z”.

Hệ biến cố $B_1, B_2, B_3$ là một hệ đầy đủ với các xác suất tương ứng:

$P(B_1) = 0.40$; $P(B_2) = 0.35$; $P(B_3) = 0.25$.

Theo đề bài, xác suất đỗ đại học tương ứng với từng trung tâm (xác suất có điều kiện) là:

$P(A|B_1) = 0.90$; $P(A|B_2) = 0.80$; $P(A|B_3) = 0.70$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất một học sinh bất kỳ đỗ đại học là:

$$P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + P(B_3)P(A|B_3)$$

$$P(A) = 0.40 \times 0.90 + 0.35 \times 0.80 + 0.25 \times 0.70 = 0.36 + 0.28 + 0.175 = 0.815$$

Biết rằng học sinh đó đã đỗ đại học, xác suất học sinh đó ôn thi tại trung tâm X được tính bằng công thức Bayes:

$$P(B_1|A) = \frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)} = \frac{0.36}{0.815} = \frac{360}{815} = \frac{72}{163} \approx 0.4417$$

Kết luận: Xác suất học sinh đó đã ôn thi tại trung tâm X là $\frac{72}{163}$ (khoảng 44,17%).

Bài tập tương tự

Bài 1: Kho hàng có 2 lô sản phẩm. Lô I có 10 sản phẩm (gồm 8 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu). Lô II có 15 sản phẩm (gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu). Chọn ngẫu nhiên 1 lô, từ đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì thấy đó là sản phẩm tốt. Tính xác suất lô được chọn là lô I.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $A$ là biến cố chọn được sản phẩm tốt. $B_1, B_2$ là biến cố chọn lô I, lô II. $P(B_1) = P(B_2) = 0.5$.

$P(A|B_1) = \frac{8}{10} = 0.8$; $P(A|B_2) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.

Xác suất toàn phần: $P(A) = 0.5 \times 0.8 + 0.5 \times \frac{2}{3} = \frac{11}{15}$.

Áp dụng công thức Bayes: $P(B_1|A) = \frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)} = \frac{0.5 \times 0.8}{\frac{11}{15}} = \frac{6}{11}$.

Bài 2: Có ba hộp chứa bi. Hộp 1 có 3 bi trắng, 2 bi đen; Hộp 2 có 4 bi trắng, 1 bi đen; Hộp 3 có 2 bi trắng, 3 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, rồi từ đó lấy 1 viên bi thì được bi trắng. Tính xác suất viên bi đó được lấy từ hộp thứ 2.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $A$ là biến cố lấy được bi trắng. $B_1, B_2, B_3$ là biến cố chọn hộp 1, 2, 3. $P(B_i) = \frac{1}{3}$.

$P(A|B_1) = \frac{3}{5}$; $P(A|B_2) = \frac{4}{5}$; $P(A|B_3) = \frac{2}{5}$.

$P(A) = \frac{1}{3}\left(\frac{3}{5} + \frac{4}{5} + \frac{2}{5}\right) = \frac{3}{5}$.

$P(B_2|A) = \frac{P(B_2)P(A|B_2)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{9}$.

Bài 3: Một công ty bảo hiểm chia khách hàng làm 3 nhóm: Rủi ro thấp (50%), Rủi ro trung bình (30%), Rủi ro cao (20%). Xác suất gặp tai nạn trong năm của các nhóm lần lượt là 1%, 3%, 8%. Biết một khách hàng vừa báo cáo tai nạn, tính xác suất người này thuộc nhóm rủi ro cao.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $A$ là biến cố gặp tai nạn. $B_1, B_2, B_3$ là nhóm rủi ro thấp, TB, cao. $P(B_1)=0.5, P(B_2)=0.3, P(B_3)=0.2$.

$P(A|B_1)=0.01$; $P(A|B_2)=0.03$; $P(A|B_3)=0.08$.

$P(A) = 0.5 \times 0.01 + 0.3 \times 0.03 + 0.2 \times 0.08 = 0.03$.

$P(B_3|A) = \frac{0.2 \times 0.08}{0.03} = \frac{0.016}{0.03} = \frac{8}{15}$.

Bài 4: Tỉ lệ người mắc bệnh X trong cộng đồng là 2%. Một phương pháp xét nghiệm có độ nhạy (phát hiện đúng bệnh) là 95% và độ đặc hiệu (phát hiện đúng người không bệnh) là 90%. Một người đi xét nghiệm cho kết quả dương tính. Tính xác suất người này thực sự mắc bệnh X.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $A$ là biến cố kết quả xét nghiệm dương tính. $B_1$ là người có bệnh ($0.02$), $B_2$ là người không bệnh ($0.98$).

$P(A|B_1) = 0.95$ (độ nhạy). $P(A|B_2) = 1 – 0.90 = 0.10$ (dương tính giả).

$P(A) = 0.02 \times 0.95 + 0.98 \times 0.10 = 0.117$.

$P(B_1|A) = \frac{0.02 \times 0.95}{0.117} = \frac{0.019}{0.117} = \frac{19}{117} \approx 16.24\%$.

Bài 5: Một cửa hàng nhập rau từ 3 nông trại A, B, C với tỉ lệ 30%, 50%, 20%. Tỉ lệ rau bị dập nát của A, B, C lần lượt là 2%, 1%, 3%. Khách hàng mua ngẫu nhiên 1 bó rau và thấy nó bị dập nát. Tính xác suất bó rau đó của nông trại C.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $X$ là biến cố bó rau bị dập nát. $N_A, N_B, N_C$ là rau từ nông trại A, B, C.

$P(N_A)=0.3, P(N_B)=0.5, P(N_C)=0.2$.

$P(X|N_A)=0.02, P(X|N_B)=0.01, P(X|N_C)=0.03$.

$P(X) = 0.3 \times 0.02 + 0.5 \times 0.01 + 0.2 \times 0.03 = 0.017$.

$P(N_C|X) = \frac{0.2 \times 0.03}{0.017} = \frac{0.006}{0.017} = \frac{6}{17}$.