1. Dạng toán và Phương pháp giải
Dạng toán: Tính xác suất của một nguyên nhân (giả thiết) khi biết trước một kết quả (biến cố) đã xảy ra. Đây là bài toán đặc trưng áp dụng Công thức Bayes trong chương trình Toán 12.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Gọi các biến cố tạo thành một hệ đầy đủ. Giả sử $B_1, B_2,…, B_n$ là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi một.
- Bước 2: Gọi $A$ là biến cố kiện kết quả đã xảy ra.
- Bước 3: Tính xác suất toàn phần của biến cố $A$ theo công thức: $$P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + … + P(B_n)P(A|B_n)$$
- Bước 4: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất cần tìm (xác suất hậu nghiệm): $$P(B_i|A) = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}$$
2. Lời giải chi tiết
Gọi $B_1$ là biến cố: “Sản phẩm do máy A sản xuất”. Theo giả thiết, ta có $P(B_1) = 60\% = 0.6$.
Gọi $B_2$ là biến cố: “Sản phẩm do máy B sản xuất”. Ta có $P(B_2) = 40\% = 0.4$.
Nhận thấy $B_1, B_2$ lập thành một hệ biến cố đầy đủ.
Gọi $A$ là biến cố: “Sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi”.
Theo đề bài, tỷ lệ lỗi của máy A là 2% và máy B là 3%, ta có xác suất có điều kiện: $P(A|B_1) = 0.02$ và $P(A|B_2) = 0.03$.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất chọn được một sản phẩm lỗi từ kho là: $$P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2)$$ $$P(A) = 0.6 \times 0.02 + 0.4 \times 0.03 = 0.012 + 0.012 = 0.024$$
Bài toán yêu cầu tính xác suất để sản phẩm lỗi đó do máy A sản xuất, tức là tính $P(B_1|A)$. Áp dụng công thức Bayes, ta có: $$P(B_1|A) = \frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)} = \frac{0.012}{0.024} = 0.5$$
Kết luận: Xác suất để sản phẩm lỗi do máy A sản xuất là $0.5$ (hay $50\%$).
3. Bài tập tương tự
Dưới đây là 5 bài tập để các em tự luyện tập. Hãy áp dụng đúng các bước đã học ở trên nhé.
- Bài 1: Một căn bệnh có tỷ lệ mắc trong quần thể là 1%. Một xét nghiệm y tế có độ nhạy là 95% (người bệnh có kết quả dương tính là 95%) và tỷ lệ dương tính giả là 5% (người khỏe mạnh nhưng kết quả xét nghiệm vẫn dương tính). Một người đi khám và có kết quả xét nghiệm dương tính. Tính xác suất người này thực sự mắc bệnh.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $B$ là biến cố mắc bệnh $\Rightarrow P(B)=0.01, P(\overline{B})=0.99$.
Gọi $D$ là biến cố xét nghiệm dương tính. Ta có $P(D|B)=0.95, P(D|\overline{B})=0.05$.
$P(D) = 0.01 \times 0.95 + 0.99 \times 0.05 = 0.059$.
Xác suất thực sự mắc bệnh: $P(B|D) = \frac{0.01 \times 0.95}{0.059} \approx 0.161$ (hay $16.1\%$).
- Bài 2: Có hai hộp bi. Hộp 1 chứa 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Hộp 2 chứa 4 bi đỏ và 1 bi xanh. Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. Nếu xuất hiện mặt 1 hoặc 2 chấm thì chọn hộp 1; nếu xuất hiện mặt khác thì chọn hộp 2. Từ hộp đã chọn, bốc ngẫu nhiên ra 1 viên bi thì thấy đó là bi đỏ. Tính xác suất viên bi đỏ đó được lấy từ hộp 1.
Xem đáp án và lời giải
Xác suất chọn hộp 1: $P(H_1) = 2/6 = 1/3$. Hộp 2: $P(H_2) = 4/6 = 2/3$.
Xác suất bốc bi đỏ từ H1: $P(D|H_1) = 3/5$. Từ H2: $P(D|H_2) = 4/5$.
$P(D) = (1/3)(3/5) + (2/3)(4/5) = 11/15$.
$P(H_1|D) = \frac{(1/3)(3/5)}{11/15} = \frac{3}{11}$.
- Bài 3: Dự báo thời tiết cho biết xác suất có mưa vào ngày mai là 30%. Nếu trời mưa, xác suất một học sinh đi học muộn là 40%. Nếu trời không mưa, xác suất đi học muộn là 10%. Ngày mai học sinh đó đi học muộn. Tính xác suất trời đã mưa.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $M$ là biến cố trời mưa $\Rightarrow P(M)=0.3, P(\overline{M})=0.7$.
Gọi $T$ là biến cố đi muộn. $P(T|M)=0.4, P(T|\overline{M})=0.1$.
$P(T) = 0.3 \times 0.4 + 0.7 \times 0.1 = 0.19$.
$P(M|T) = \frac{0.12}{0.19} = \frac{12}{19} \approx 0.6316$.
- Bài 4: Một công ty bảo hiểm chia khách hàng làm 2 nhóm: rủi ro cao (chiếm 20%) và rủi ro thấp (chiếm 80%). Trong một năm, xác suất xảy ra tai nạn của nhóm rủi ro cao là 15%, của nhóm rủi ro thấp là 5%. Một khách hàng vừa thông báo bị tai nạn. Tính xác suất khách hàng này thuộc nhóm rủi ro cao.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $C$ là rủi ro cao $\Rightarrow P(C)=0.2$, $T$ là rủi ro thấp $\Rightarrow P(T)=0.8$.
Gọi $N$ là biến cố bị tai nạn. $P(N|C)=0.15, P(N|T)=0.05$.
$P(N) = 0.2 \times 0.15 + 0.8 \times 0.05 = 0.03 + 0.04 = 0.07$.
$P(C|N) = \frac{0.03}{0.07} = \frac{3}{7}$.
- Bài 5: Một hệ thống lọc email nhận thấy 40% số email là thư rác (spam). Trong các email rác, 80% có chứa từ “FREE”. Trong các email bình thường, chỉ có 5% chứa từ “FREE”. Hệ thống nhận được một email mới có chứa từ “FREE”. Tính xác suất đây là thư rác.
Xem đáp án và lời giải
$P(S)=0.4$ (thư rác), $P(\overline{S})=0.6$ (thư bình thường).
Gọi $F$ là biến cố email chứa chữ “FREE”. $P(F|S)=0.8, P(F|\overline{S})=0.05$.
$P(F) = 0.4 \times 0.8 + 0.6 \times 0.05 = 0.35$.
$P(S|F) = \frac{0.32}{0.35} = \frac{32}{35} \approx 0.914$ (hay $91.4\%$).
Để lại phản hồi