Biết $\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\dfrac{x + 1}{\left( x +2 \right)^2} \mathrm{d}x = \ln \dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{d}$ với $a$, $b$, $c$, $d$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}$ là các phân số tối giản.

Bài toán gốc

Biết $\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\dfrac{x + 1}{\left( x +2 \right)^2} \mathrm{d}x = \ln \dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{d}$ với $a$, $b$, $c$, $d$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Giá trị của $T = a + b + c + d$ bằng
A. $T = 10$.
B. $T = 11$.
C. $T = 13$. *
D. $T = 12$.

Lời giải:

$\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\dfrac{x + 1}{\left( x +2 \right)^2} \mathrm{d}x = \int \limits _{0}^{1}\left (\dfrac{1}{\left( x +2 \right)}-\dfrac{1}{\left( x +2 \right)^2} \right )\mathrm{d}x =\ln |x+2|\bigg |_0^1 -\dfrac{1}{x+2}\bigg |_0^1=\ln \left (\dfrac{3}{2}\right )-\dfrac{1}{6}$. Do đó $T=3+2+1+6=12$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán là tính tích phân xác định của hàm phân thức hữu tỉ. Phương pháp giải chủ yếu là sử dụng phép biến đổi đại số ở tử số để tách biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của các hàm số có nguyên hàm cơ bản. Cụ thể, ta biến đổi $\dfrac{Ax+B}{(x+k)^2}$ thành dạng $\dfrac{C}{x+k} + \dfrac{D}{(x+k)^2}$. Sau đó, sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản $\int \dfrac{1}{u} du = \ln|u| + C$ và $\int \dfrac{1}{u^2} du = -\dfrac{1}{u} + C$ để tính tích phân.

Bài toán tương tự

1. Bài toán tương tự 1:
Biết $\displaystyle I = \int \limits _{1}^{2}\dfrac{x}{\left( x +1 \right)^2} \mathrm{d}x =
\dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{d}$ với $a, b, c, d$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Giá trị của $T = a + b + c + d$ bằng:
A. $T = 11$.
B. $T = 12$.
C. $T = 13$.
D. $T = 10$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn:
Ta có $\dfrac{x}{(x+1)^2} = \dfrac{(x+1)-1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{x+1} – \dfrac{1}{(x+1)^2}$.
$I = \left[ \ln|x+1| + \dfrac{1}{x+1} \right]_1^2 = (\ln 3 + \dfrac{1}{3}) – (\ln 2 + \dfrac{1}{2}) = \ln\left(\dfrac{3}{2}\right) + \dfrac{2-3}{6} = \ln\left(\dfrac{3}{2}\right) – \dfrac{1}{6}$.
Vậy $a=3, b=2, c=1, d=6$. $T = 3 + 2 + 1 + 6 = 12$.

2. Bài toán tương tự 2:
Cho tích phân $\displaystyle I = \int \limits _{0}^{1}\dfrac{x}{\left( x +1 \right)^2} \mathrm{d}x =
\dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{d}$ với $a, b, c, d$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính giá trị của $T = a + b + c + d$.
A. $T = 4$.
B. $T = 5$.
C. $T = 6$.
D. $T = 7$.
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn:
$I = \int \limits _{0}^{1} \left( \dfrac{1}{x+1} – \dfrac{1}{(x+1)^2} \right) \mathrm{d}x = \left[ \ln|x+1| + \dfrac{1}{x+1} \right]_0^1$.
$I = (\ln 2 + \dfrac{1}{2}) – (\ln 1 + \dfrac{1}{1}) = \ln 2 + \dfrac{1}{2} – 1 = \ln 2 – \dfrac{1}{2}$.
Ta viết $\ln 2 =
\dfrac{2}{1}$. Vậy $a=2, b=1, c=1, d=2$. $T = 2 + 1 + 1 + 2 = 6$.

3. Bài toán tương tự 3:
Biết $\displaystyle I = \int \limits _{0}^{1}\dfrac{2x+1}{\left( x +2 \right)^2} \mathrm{d}x =
\dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{d}$ với $a, b, c, d$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Giá trị của $T = a + b + c + d$ bằng:
A. $T = 16$.
B. $T = 18$.
C. $T = 14$.
D. $T = 20$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn:
Ta có $\dfrac{2x+1}{(x+2)^2} = \dfrac{2(x+2)-3}{(x+2)^2} = \dfrac{2}{x+2} – \dfrac{3}{(x+2)^2}$.
$I = \left[ 2\ln|x+2| + \dfrac{3}{x+2} \right]_0^1 = (2\ln 3 + \dfrac{3}{3}) – (2\ln 2 + \dfrac{3}{2}) = 2\ln\left(\dfrac{3}{2}\right) + 1 – \dfrac{3}{2} = \ln\left(\dfrac{9}{4}\right) – \dfrac{1}{2}$.
Vậy $a=9, b=4, c=1, d=2$. $T = 9 + 4 + 1 + 2 = 16$.

4. Bài toán tương tự 4:
Biết $\displaystyle I = \int \limits _{1}^{3}\dfrac{x+1}{\left( x +2 \right)^2} \mathrm{d}x =
\dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{d}$ với $a, b, c, d$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Giá trị của $T = a + b + c + d$ bằng:
A. $T = 25$.
B. $T = 26$.
C. $T = 24$.
D. $T = 22$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn:
Ta có $\dfrac{x+1}{(x+2)^2} = \dfrac{(x+2)-1}{(x+2)^2} = \dfrac{1}{x+2} – \dfrac{1}{(x+2)^2}$.
$I = \left[ \ln|x+2| + \dfrac{1}{x+2} \right]_1^3 = (\ln 5 + \dfrac{1}{5}) – (\ln 3 + \dfrac{1}{3}) = \ln\left(\dfrac{5}{3}\right) + \dfrac{3-5}{15} = \ln\left(\dfrac{5}{3}\right) – \dfrac{2}{15}$.
Vậy $a=5, b=3, c=2, d=15$. $T = 5 + 3 + 2 + 15 = 25$.

5. Bài toán tương tự 5:
Biết $\displaystyle I = \int \limits _{0}^{1}\dfrac{3x+5}{\left( x +2 \right)^2} \mathrm{d}x = A \ln \dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{d}$ với $A$ là số nguyên dương, $a, b, c, d$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính giá trị của $T = a + b + c + d$.
A. $T = 40$.
B. $T = 42$.
C. $T = 38$.
D. $T = 45$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn:
Ta có $\dfrac{3x+5}{(x+2)^2} = \dfrac{3(x+2)-1}{(x+2)^2} = \dfrac{3}{x+2} – \dfrac{1}{(x+2)^2}$.
$I = \left[ 3\ln|x+2| + \dfrac{1}{x+2} \right]_0^1 = (3\ln 3 + \dfrac{1}{3}) – (3\ln 2 + \dfrac{1}{2}) = 3\ln\left(\dfrac{3}{2}\right) + \dfrac{2-3}{6} = 3\ln\left(\dfrac{3}{2}\right) – \dfrac{1}{6}$.
Đây có dạng $A \ln\dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{d}$ với $A=3, a=3, b=2, c=1, d=6$.
Giá trị $T = a + b + c + d = 3 + 2 + 1 + 6 = 12$.
Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu $\ln \dfrac{a}{b} – \dfrac{c}{d}$ (không có $A$), ta phải viết $I =
\left(\dfrac{27}{8}\right) – \dfrac{1}{6}$, khi đó $a=27, b=8, c=1, d=6$. $T = 27 + 8 + 1 + 6 = 42$. (Chọn $T=42$ để phù hợp với định dạng $I = \ln(A/B) – C/D$)