Bài toán gốc
Cho $\displaystyle\int\limits_{0}^{9} f(x) \mathrm{ d}x = 37$ và $\displaystyle\int\limits_{9}^{0} g(x) \mathrm{ d}x = 16$, khi đó $\displaystyle\int\limits_{0}^{9} \left[2f(x)+3g(x)\right] \mathrm{ d}x$ bằng
A. $122$. *
B. $26$.
C. $58$.
D. $143$.
Lời giải:
Ta có $\displaystyle\int\limits_{0}^{9} \left[2f(x)+3g(x)\right] \mathrm{ d}x =2\displaystyle\int\limits_{0}^{9} f(x) \mathrm{ d}x +3\displaystyle\int\limits_{0}^{9} g(x) \mathrm{ d}x =2\cdot 37 +3 \cdot (-16) = 26$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu tính tích phân của một hàm số tuyến tính (tổng, hiệu, nhân với hằng số) dựa trên các tích phân đã biết của các hàm thành phần. Phương pháp giải là áp dụng hai tính chất cơ bản của tích phân xác định:
1. Tính chất tuyến tính: $\displaystyle\int_{a}^{b} [A f(x) + B g(x)] \mathrm{ d}x = A\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{ d}x + B\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{ d}x$.
2. Tính chất đổi cận: $\displaystyle\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{ d}x = -\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{ d}x$.
Sau khi đưa tất cả các tích phân về cùng cận, tiến hành thay số và tính toán.
Bài toán tương tự
{
“cau_hoi”: “**(1)** Cho $\displaystyle\int\limits_{1}^{5} f(x) \mathrm{ d}x = 10$ và $\displaystyle\int\limits_{5}^{1} g(x) \mathrm{ d}x = -3$. Tính $I = \displaystyle\int\limits_{1}^{5} \left[5f(x) – 2g(x)\right] \mathrm{ d}x$.”,
“dap_an”: “44”,
“loi_giai_ngan_gon”: “Ta có $\displaystyle\int\limits_{1}^{5} g(x) \mathrm{ d}x = -\displaystyle\int\limits_{5}^{1} g(x) \mathrm{ d}x = -(-3) = 3$. Áp dụng tính chất tuyến tính: $I = 5\displaystyle\int\limits_{1}^{5} f(x) \mathrm{ d}x – 2\displaystyle\int\limits_{1}^{5} g(x) \mathrm{ d}x = 5(10) – 2(3) = 50 – 6 = 44$.”
}, {
“cau_hoi”: “**(2)** Cho $\displaystyle\int\limits_{-2}^{3} f(x) \mathrm{ d}x = 5$ và $\displaystyle\int\limits_{3}^{-2} g(x) \mathrm{ d}x = -7$. Tính $J = \displaystyle\int\limits_{-2}^{3} \left[4f(x) + g(x) + 6\right] \mathrm{ d}x$.”,
“dap_an”: “57”,
“loi_giai_ngan_gon”: “Ta có $\displaystyle\int\limits_{-2}^{3} g(x) \mathrm{ d}x = -\displaystyle\int\limits_{3}^{-2} g(x) \mathrm{ d}x = -(-7) = 7$. Áp dụng tính chất tuyến tính và tính tích phân hằng số: $J = 4\displaystyle\int\limits_{-2}^{3} f(x) \mathrm{ d}x + \displaystyle\int\limits_{-2}^{3} g(x) \mathrm{ d}x + \displaystyle\int\limits_{-2}^{3} 6 \mathrm{ d}x = 4(5) + 7 + 6 \cdot (3 – (-2)) = 20 + 7 + 6 \cdot 5 = 27 + 30 = 57$.”
}, {
“cau_hoi”: “**(3)** Cho $\displaystyle\int\limits_{2}^{7} f(x) \mathrm{ d}x = 8$ và $\displaystyle\int\limits_{7}^{2} [f(x) – 3g(x)] \mathrm{ d}x = -6$. Tính $K = \displaystyle\int\limits_{2}^{7} g(x) \mathrm{ d}x$.”,
“dap_an”: “2/3”,
“loi_giai_ngan_gon”: “Ta có $-\displaystyle\int\limits_{2}^{7} [f(x) – 3g(x)] \mathrm{ d}x = \displaystyle\int\limits_{7}^{2} [f(x) – 3g(x)] \mathrm{ d}x = -6$. Do đó, $\displaystyle\int\limits_{2}^{7} f(x) \mathrm{ d}x – 3\displaystyle\int\limits_{2}^{7} g(x) \mathrm{ d}x = 6$. Thay số: $8 – 3K = 6 \implies 3K = 2 \implies K = 2/3$.”
}, {
“cau_hoi”: “**(4)** Cho $\displaystyle\int\limits_{0}^{2} f(x) \mathrm{ d}x = 4$ và $\displaystyle\int\limits_{2}^{0} g(x) \mathrm{ d}x = 5$. Tính $K = \displaystyle\int\limits_{0}^{2} \left[3f(x) – 4g(x)\right] \mathrm{ d}x$.
A. $32$. B. $12$. C. $-8$. D. $-20$.”,
“dap_an”: “A. $32$.”,
“loi_giai_ngan_gon”: “Ta có $\displaystyle\int\limits_{0}^{2} g(x) \mathrm{ d}x = -\displaystyle\int\limits_{2}^{0} g(x) \mathrm{ d}x = -5$. $K = 3\displaystyle\int\limits_{0}^{2} f(x) \mathrm{ d}x – 4\displaystyle\int\limits_{0}^{2} g(x) \mathrm{ d}x = 3(4) – 4(-5) = 12 + 20 = 32$.”
}, {
“cau_hoi”: “**(5)** Cho $\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} f(x) \mathrm{ d}x = 6$. Tính $L = \displaystyle\int\limits_{1}^{-1} \left[f(x) – 5x + 3\right] \mathrm{ d}x$.
A. $-12$. B. $0$. C. $6$. D. $12$.”,
“dap_an”: “A. $-12$.”,
“loi_giai_ngan_gon”: “$L = -\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} \left[f(x) – 5x + 3\right] \mathrm{ d}x = – \left( \displaystyle\int\limits_{-1}^{1} f(x) \mathrm{ d}x – \displaystyle\int\limits_{-1}^{1} 5x \mathrm{ d}x + \displaystyle\int\limits_{-1}^{1} 3 \mathrm{ d}x \right)$. Ta có $\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} f(x) \mathrm{ d}x = 6$, $\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} 5x \mathrm{ d}x = 0$ (vì $5x$ là hàm lẻ trên $[-1, 1]$), và $\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} 3 \mathrm{ d}x = 3(1 – (-1)) = 6$. Vậy $L = – (6 – 0 + 6) = -12$.”
}